sk
T (rk )
k j0
pr (rj )
k j0
nj n
上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直接由
原图像的直方图算出。
一幅图像的sk与rk之间的关系称为该图像的累积灰
度直方图。
Pr(rk)
S(rk) 1.0
rk 1.0
rk 1.0
直方图均衡化的计算
直方图均衡化过程（算法）：
b) 计算各灰度级的像素频数(或概率)
设nk为灰度级为rk的像素的个数，N为总的像素个数，令
pr
(rk
)

nk N
nk是像素值为k的像素的频数，pr (rk )为其出现的概率
c) 作图
建立直角坐标系，横轴表示rk 的取值，纵轴表示pr (rk )的取值， 作pr (rk )的函数图
练习：试求如图所 示一幅10×10， ８级灰度图像的灰
举例
应用：直方图修正 灰度修正（改变像素灰度值）⇔ 改变直方图
（修正）⇔ 灰度非线性变换 方法：直方图均衡化 直方图规定化（匹配）
3.3.1直方图均衡化
一、直方图均衡化
灰度直方图反映了数字图像中每一灰度级与其 出现频率间的关系,它能描述该图像的概貌。通过 修改直方图的方法增强图像是一种实用而有效的处 理技术。
T(r) 1r
1 r
将非均匀密度变换为均匀密度
T(r)作为变换函数，满足下列条件：
①在0≤r≤1内为单调递增函数，保证灰度级从
黑到白的次序不变；
②在0≤r≤1内，有0≤T(r)≤1，确保映射后的
像素灰度在允许的范围内。
反变换关系为
r T 1(s)
T-1(s)对s同样满足上述两个条件。
由概率论理论可知，如果已知随机变量r的概率 密度为pr(r),而随机变量s是r的函数，则s的概率密 度ps(s)可以由pr(r)求出。
1
(s)

可见，输出图像的概率密度函数可以通过变换函数T(r)控
制原图像灰度级的概率密度函数得到,因而改善原图像的灰度 层次,这就是直方图修改技术的基础。
从人眼视觉特性来考虑，一幅图像的直方图如果是均匀分
布的，即Ps(s)=k(归一化时k=1)时，该图像色调给人的感觉 比较协调。因此将原图像直方图通过T(r)调整为均匀分布的
EH(rk)是一个单调增加函数，它等于灰度在rk一下的 像素所占的比例，可以写出反函数:
rk= EH-1(tk) ,0≤tk≤1, k=0,1,…,L-1
假设tk=EH(rk)=1/4,那么灰度rk 映射到tk意味着tk=1/4一下的 灰度占像素总数的1/4。如果 tk=1/2,那么tk=1/2以下的像素 占像素总数的1/2，即 tk的直方图是均匀分布的。
nk
rk 01234567
偏暗图像 及其直方图
动态范围偏小图像 及其直方图
动态范围正常图像 及其直方图
二、直方图的用途
1.数字化参数
可用来判断一幅图像是否合理地利用了全部被允许的 灰度级范围。一幅图像应利用几乎全部的灰度级。
2. 边界阈值选取
频 率
0
阈值点 灰度
三、积累直方图
积tk=累E直H(r方k)图= 就ik0 nn是i 由= i前k0 pkr(个ri) ,等0≤级rk≤之1,和k=生0,1成,…的,L积-1累直方图。
度直方图。
a)将图像的灰度级归一化
rk

k ,k L 1
0,1,L
,L 1
求得：rk=0,1/7,2/7, …, 6/7
b)计算各灰度级的像素频数
pr
(rk
)

nk N
Pk=0.1, 0.2, 0.1, …
c)作图
00 000000 00 11 111111 11 11 111111 11 22 222222 22 33 333333 33 33 333333 33 33 333333 33 55 555555 55 77 777777 77 77 777777 77
(1) 列出原始图灰度级rk； (2) 统计原始直方图各灰度级像素数nk; (3) 计算原始直方图各概率：pk=nk/N; (4) 计算累计直方图：sk=Σpk; (5) 取整Sk=int{(L-1)sk+0.5}; (6) 确定映射对应关系：rksk; (7) 统计新直方图各灰度级像素nk'; (8) 用pk (sk) =nk'/N计算新直方图。
其中L是灰度层次数， N是图幅总像素数。
直方图均衡化计算列表
序
运算
号
步骤和结果
1
列出原始灰度级rk
0 1 2345 6 7
2 统计原始直方图各级灰度 790 1023 850 656 329 245 122 81 nk
3 计算原始直方图rk的pk 0.19 0.25 0.21 0.16 0.08 0.06 0.03 0.02
3.3 直方图处理
一、灰度直方图 直方像图反映了图的像素的灰度分布是反映一幅图像 中的灰度级与出现这种灰度级的像素的概率之间关系 的图形。 直方图的横坐标为灰度级（用r表示），纵坐标是具 有该灰度级的像素个数或出现此灰度级的概率P(rk)。 设度N的（像=素a×数b；）r为k表一示幅第图k像个中灰像度素级总。数则，：nk为第k级灰 P(rk)= nk /N （归一化后k级灰度像素数）
假定随机变量s的分布函数用Fs(s)表示，根据分
布函数定义
s
r
FS (s) ps (s)ds pr (r)dr
利用密度函数是分布函数的导数的关系，等式两边对s求
导，有：
Ps (s)
d ds

r
pr
(r
)dr


pr
dr ds

pr
d ds
T
0
1
2
3
4
5
6
7
790 1023 850 656 329 245 122 81
Pz(zk) 0.3 0.2 0.1
0.3
0.2 0.15
0.2 0.15
0 1/7 3/7 5/7 (c)
1 zk
解：直方图规定化计算过程如下：
1
列出原图灰度级rk , k=0,1…,7
0
1
234567
2 统计原图各灰度级像素数nk 790 1023 850 656 329 245 122 81
0
0
0 0.15 0.2 0.3 0.2 0.15
0
0
0 0.15 0.35 0.65 0.85 1
3
4
566777
8 确定映射对应关系(k →l ) 0→3 1→4 2→5 3,4→6
5，6,7→7
9 变换后各灰度级像素n'z
0
0
0 790 1023 850 985 448
1 0
变换后直方图
0.19 0.25 0.21 0.24 0.11
直方图均衡化是将原图像通过某种变换，得到 一幅灰度直方图为均匀分布的新图像的方法。
直方图均衡化
对连续变化图像：
设r和s分别表示归一化了 的原图像灰度和经直方图修 正后的图像灰度。即
0 r,s 1
在[0,1]区间内的任一个r值， 都可产生一个s值，且
s T (r)
ss 11
Ps(s)
Pr(r)
4
计算累计直方图sk
0.19 0.44 0.65 0.81 0.89 0.95 0.98 1.00
5 取整sk=int[(L-1)sk +0.5] 1
3
5667 7
7
6 确定映射关系(rk→sk) 0-1 1-3 2-5 3,4-6
7 统计新直方图各灰度级n’k
790
1023
5,6,7-7
850 985 448
1 Sk
直 方 图 规 定 化
4 7
5 7
6 7
1 Sk
直方图均衡化
Pz(zk) 0.3 0.2 0.1
0.3
0.2 0.15
0.2 0.15
0 1/7
3/7 5/7
(c)
1 zk
希望直方图
ps(Sk)
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
0.25 0.24 0.19 0.21
0.11
0
1 7
23456
7直方7 图7规定7 化7
0.44
0.20 0.19
0
1 7
2 7
3 7
45 77
6 7
1 rk
(b)
ps(Sk)
0.25
0.20
0.19
0.25
0.24 0.21
0.15
0.11
0.10
0.05
0
1 7
2 7
3 7
4 7
5 7
6 7
1 Sk
(c)
直方图均衡化效果
3.3.2直方图匹配（规定化）
直方图均衡化的优点是能自动地增强整个图像
化处理后图像的灰度概率密度函数.
对原始直方图进行均衡化处理，有：s

T
(r
)

r
0
Pr
(r
)dr
对规定化后的直方图均衡化处理，有：v

G(
z
)

z
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pz
(
z
)dz
两者经直方图均衡化处理后应有相同的直方图，因此
规定化后的的图像灰度级为：
z G1(v) G1(s) G1[T (r)]
pr(rk)
0.25 0.25