n
c
a
k
k a
c
n
2021
10
［例2］试求点K 到△ABC 的距离
分析：
求点到平面的距离， 需自该点向平面作垂线， 并求出垂线与平面的交 点(垂足)，
然后确定该点到垂 足之间线段的实长。
2021
11
1）在△ABC上
任作一水平线 BD和正平线AE；
2）自K 点向BD、
AE引垂线，即
作kl⊥bd， k′l′⊥a′e′，
2021
26
［例］试求直线AB与平面EFG的交点
PH 1）过AB 作铅垂辅助面P ； 2）求P 与EFG 的交线CD ；
2021
27
3）求CD 与AB 的交点K ，则K 为直线AB 与平面EFG 的交点；
1）自△DEL上任一
点，如E 点，作直
线EF垂直于△ABC ；
2）在EF 上除E点外， 任取一点，如F 点， 检查F 点是否在
△DEL 平面上。
由图可见，F 点不在△DEL 平面上，故两平面不垂直。
2021
19
［例3］试过A 点作一条直 线，使其与直线BC 垂直相 交。
2021
20
分析：所求直线必在过A 点
反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意 一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上（图b）。
(a)
(b)
2021
17
［例1］试过EF直线作一平面垂直于ABCD平面。
解：自EF直线上
的任一点E，向 ABCD平面作垂线 EH；
则FEH平面 垂直于ABCD平面， 即为所求。
2021
18
［例2］试判断△ABC、△DEL两平面是否相互垂直。
n
14
定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的 水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投 影，则直线必垂直于该平面。
2021
15
2、 直线垂直于投影面垂直面
h
QV
k
h
k
QV
h
k
h
k
（a）
k
h PH
2021 （b）
h(k)
（c） 16
一、 两平面相互垂直
如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都 垂直于该平面（图a）；
a
x
c
e
必相互平行。
d acb e
e f
o
f
e
f
h
o
h f
例3 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作 一平面平行于已知平面 。
s
f
k
e
m
n
r
r n
e k
m
f
s
§5—2 直线与平面、平面与平面的垂直
直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂 直于属于该平面的一切直线。
2021
直线与一般面平行 直线与投影面垂直面(含平行面)平行
1、 直线与一般面平行
有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已 知直线平行。
例1：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
b
x a
a
cm n ● o
c
m●
n
b
唯一解
例题2 试判断直线AB是否平行于定平面
且与直线BC 垂直的平面内， 该平面与直线BC 的交点和A 点的连线，即为所求 。
1）过A 点作水平线AD⊥BC， 作正平线AE⊥BC；
PV
2）求BC直线与平面DAE 的交点K；
3）连接A、K ，则AK
即为所求。
2021
21
§5—3 直线与平面、平面与平面的相交
一、 直线与投影面垂直面相交
主要解决问题：求交点？
8
一、 直线与平面垂直
1、 直线垂直于一般面 直线垂直于一般面，必垂直与该平面内的两条相交直线。
在投影图中做一般面垂线的方法：做平面的正平线 和水平线作为面上的两相交直线，所做垂线与正平线的 垂直关系在V投影反映，垂线与水平线的垂直关系在H 投影反映。
2021
9
[例题1] 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂线。
直线与投影面垂直面相交时，该面的积聚投影与直 线的同面投影的交点，就是所求交点的同面投影，另一个 投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。
2021
22
［例1］试求直线AB 与平面P 的交点。
解：平面P 是
水平面，V 投影 有积聚性。
PV∩a′b′＝ k′，k′就是交
点K 的V 投影。
由k′即可
求出k ，则点K 即为所求 。
得垂线KL；
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12
3）过KL作辅助面P， 求出垂足F；
PV
4）用直角三角形法 求出KF 的实长K1f ， 则K1f 即为所求的距 离。
2021
13
定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属
于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于
该
k
2021
2021
23
[例2]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
空间及投影分析
平面ABC 是一正垂面， 其V 投影积聚成一条直线，
该直线与mn 的交点即为K
点的V 投影。
作图
1)求交点。 2)判别可见性。
由V投影可知，km 段在平面
上方，故H投影上km为可见。
还可通过重影点判别可见性。
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可采用辅助投影法，先将一般面变换为投影面垂直 面，利用投影面垂直面的积聚投影直接求出交点，然后将 这交点反投射到原投影图中，另一个投影可用在直线上或 平面上取点的方法求出。
可采用辅助面法，先过直线做一投影面的垂直面，
利用垂直面的积聚性，直接求出交线和交点，然后将这交 点反投射到原投影图中，另一个投影可用在直线上或平面 上取点的方法求出。
第五章 直线与平面及两平面的相对位置
§5—1 直线与平面、平面与平面的平行 §5—2 直线与平面、平面与平面的垂直 §5—3 直线与平面、平面与平面的相交 §5—4 换面法
§5—1 直线与平面、平面与平面的平行
一、 直线与平面平行
若一直线平行于平面上的某一直线，则该直 线与此平面必相互平行。
直线与平面平行
［例3］求垂面P与三棱柱表面的交线。
解:求P 平面与三棱
柱表面的交线，只 需要利用积聚性求
出三条棱边AA1、 AB、AC 和P 平面 的交点D、E、F，
然后将交点顺次连 接即可。
作图步骤：
1)利用积聚性求直线AA1与P 平面的交点(d,d,d )；
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二、 一般线与一般面相交
主要解决问题：1、求交点？ 2、判别直线的可见性？
g f
f g
结论：直线AB不平行于定平面
2、 直线与投影面垂直面平行
a
b
a
b a
b PH
直线AB与铅垂面平 行
a
a
PH
直线AB与正平面平 行
二、 两平面平行
① 若一平面上的两相
交直线对应平行于另 一平面上的两相交直
x a
线，则这两平面相互 平行。
a
b c d
c d
b
② 若两投影面垂直面
b d
相互平行，则它们具 有积聚性的那组投影