2019-2020学年吉林省辽源市第五中学高一下学期期中考试数学（理）试卷一、选择题( 本题共12小题，每小题5分，共60分。

)1.一所中学有高一、高二、高三共三个年级的学生1600名，其中高三学生400名.如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，那么应当从高三年级的学生中抽取的人数是（）A. 10B. 15C. 20D. 302.有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（）A. 48B. 60C. 64D. 72t=-，则输出的n的值为（）3．执行如图所示的程序框图，若输入的25A．3 B．4C．5 D．64. 某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表： 若根据表中提供的数据，求出y 关于x的线性回归方程为ˆ 1.1528.1y x =-+，则 a 的值等于（ ）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．65.已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100B.99C.98D.976．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=35,S 8=S 28,则S n 最大值为 ( ) A.324B.196C.431D.5317. 设一元二次方程x 2+bx+c=0,若b,c 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,则方程有实数根的概率为 ( ) A.B.C.D.8．已知n S 是等差数列)}({*N n a n ∈的前n 项和，且576S S S >>，有下列四个命题：①0<d ；②011>S ；③012<S ；④数列{}n S 中的最大项为11S ，其中正确命题的序号是（ ）A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 10. 在△ABC 中,B=120°,AB=,A 的角平分线AD=,则AC=( )A.36 511．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是 （ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样 C ．这五名男生成绩的方差小于这五名女生成绩的方差产量x （万件） 1416182022单位成本y （元/件） 12107a3D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数12若△ABC 的面积为(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则c a的取值范围是 .A. (2,+∞)B. (1,+∞)C. (1,3)D. (2,3) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{n a 的前10项和为14. 若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1, ∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝_________. 15. 在△ABC 中,B=60°,AC=,则AB+2BC 的最大值为___________.16. 在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分。

17. 某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数．满分为100分）．从中随机抽取一个容量为120的样本．发现所有数据均在[40,100]内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：（1）算出第三组[60,70)的频数．并补全频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）18若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝.(1)求证：成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．19．(12分)某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”,现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优,所得分数情况如茎叶图所示. (1)分别计算甲、乙两地所得分数的平均值,并计算乙地得分的中位数.(2)从乙地所得分数在[60,80)间的成绩中随机抽取2份做进一步分析,求所抽取的成绩中,至少有一份分数在[75,80)间的概率.(3)在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性,求这2份成绩都是来自甲地的概率.20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos a c a b c abc C --+=. （1）求角B 的大小； （2）若3sin 13cos 0A C ++=，求ba 的值.21ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．22．1．记公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，2538a a a =⋅,（Ⅰ） 求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ； （Ⅱ） 若22()nn nc a λ=⋅-，n =1，2，3，…，问是否存在实数λ，使得数列{}n c 为单调递减数列？若存在，请求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案13201114 b ＝5 15 216 6017（1）因为各组的频率之和等于1，所以分数在[)60,70内的频率为：()1100.0050.0150.0300.0250.0100.15f =-⨯++++=，所以第三组[)60,70的额数为1200.1518⨯=（人）．完整的频率分布直方图如图．（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分．由题得左边第一个矩形的面积为0.05，第二个矩形的面积为0.15,第三个矩形的面积为0.15,第四个矩形的面积为0.3，所以中位数在第四个矩形里面，设中位数为x, 则0.05+0.15+0.15+(x-70)×0.03=0.5， 所以x=75.所以中位数为75.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C BCBCADBABDA又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：()()()()()()⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 45100.00555100.01565100.01575100.0385100.02595100.0173.5（分）．所以样本的众数为75分，中位数为75分，平均数为73.5分．18(1)证明当n≥2时，由a n＋2S n S n－1＝0，得S n－S n－1＝－2S n S n－1，所以－＝2，又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解由(1)可得＝2n，∴S n＝.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－＝＝－.当n＝1时，a1＝不适合上式．故a n＝19【解析】(1)由题得,甲地得分的平均数为×(77+78+83+85+80+89+88+92+97+99)=86.8,乙地得分的平均数为×(65+72+75+79+82+80+84+86+96+91)=81,乙地得分的中位数为=81.(2)由茎叶图可知,乙地得分中分数在[60,80)间的有65,72,75,79四份成绩,随机抽取2份的情况有:(65,72),(65,75),(65,79),(72,75),(72,79),(75,79),共6种,其中至少有一份分数在[75,80)间的情况有:(65,75),(65,79),(72,75), (72,79),(75,79),共5种.故所求概率P=.(3)甲、乙两地所得分数中超过90分的一共有5份,记甲地中的三份分别为A,B,C,乙地中的两份分别为a,b.随机抽取其中2份,所有情况下:(A,B),(A,C),(B,C),P=0.320. （1）060B =（2（1）∵角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()22222cos a c a b c abc C --+=∴()()2222cos 2a c a c b b C ac-+-=，∴()2cos cos a c B b C -=∴cos 2cos b Ba c C=-，∵由正弦定理得：2sin sin sin a b c R A B C===， ∴2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =， ∴2sin cos 4sin 2sin cos R B BR A R C C=-，∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，∴2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+ ()sin sin C B A =+=， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =∵()000,180B ∈，∴060B =.（2）∵sin 1cos 0A C ++=，∴3sin 102A C +--=，∴1sin 2A C -=， ∵060B =，∴0018060C A =--， ∴0120C A =-，∴()1sin 1202A A --=，∴)1sin cos120cos sin120sin 2A A A +=∴131sin cos sin 222A A A ⎛⎫--= ⎪⎝⎭11sin 22A A -= ∴()01cos 302A += ∵000120A <<， ∴0003030150A <+< ∴030A = ∵由正弦定理得：sin sin a b A B=，060B =，030A =，∴0sin sin6021sin sin302b B a A ====21【答案】(1) 3B π=;(2). (1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A CB +=或者2AC B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=+.又因,tan 62C C ππ<<>,318tan C <+<ABCS <<. 故ABCS的取值范围是 22（Ⅰ）1n a n =+，2322n n S n =+（Ⅱ）存在，13λ>解：(Ⅰ) 由39S =,2538a a a =⋅,可得：132392a d ⨯+= ，2111(4)(2)(7)a d a d a d +=++ 解得：12,1a d ==．故：1,n a n =+2(21)3222n n n n S n ++==+(Ⅱ) 由题知22()nn nc a λ=⋅-． 若使{}n c 为单调递减数列，则：1122422()2(2121)2()0n n n n n c c n n n n λλλ++=⋅---+⋅-=--+++＜， 对一切*n ∈N 恒成立，即： max 21424)2120n n n n λλ---++++⇔＜＞( 又22121422222()()323n n n n n nn n n n -===++++++++ 当1n =或2n =，max 421()213n n -=++ 故：13λ＞。