高二数学第一学期期末试卷满分100分，考试时间90分钟一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） (1)如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数a 等于( ) 3.2A -2.3B.3C - .6D -(2)两名同学进行英语听力练习，甲能听懂的概率为0.8，乙能听懂的概率为0.5 ,则甲、乙二人恰有一人能听懂的概率为（ ）A. 0.4B. 0.9C. 0.5D.0.1(3)已知x 、y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y x z 42+=的最小值为（ ）A. –6B. 5C.10D.–10 （4）()521x -的展开式中第四项的系数是（ ）A.10B. －80C. 80D.－8（5）抛物线22y px = (0p >)上横坐标为3的点到焦点的距离是4，则p 等于（ ）A. ８ Ｂ. 4 C. 2 D.1（6）已知直线l 的斜率为23-，且过双曲线14922=-y x 的左焦点，则直线l 与此双曲线的交点个数为（ ）个A. 3B. 2C. 1D. 0（7）五个人排成一排，其中甲、乙、丙三人左、中、右顺序不变（不一定相邻）的排法种数是（ ） A ．12 B ．20 C ．36 D ．48（8）已知1F 、2F 是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈且在x 轴上方，则12F PF ∠的最大值是（ ）A ．15 B.30C. 45D.60二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分 ，共24分．答案填在题中横线上．）（9）在参加2006年德国世界杯足球赛决赛阶段比赛的32支球队中，有欧洲队14支，美洲队8支，亚洲队4支，大洋洲队1支，非洲队5支，从中选出一支球队为欧洲队或美洲队的概率为 .（10）3个班分别从2个风景点中选择1处游览，有________ 种不同的选法 .（11）若点（－２，t ）在不等式2x －3y+6>0所表示的平面区域内，则t 的取值范围是_________ . （12） 圆cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩的（θ为参数）圆心坐标为 ；直线l 与此圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点坐标是)23,21(-，则直线l 的方程为 .（13）中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为35，并且虚轴长为8的双曲线标准方程为 __________；若P 为此双曲线上的一点，1F 、2F 分别是此双曲线的左、右焦点， 且120PF PF =，则12PFF ∆的面积为 . （14）过椭圆22184x y +=的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A ，B 两点，则双曲线的离心率e 为.三、解答题：（本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（本题满分12分）（15）已知点P （2，0），C ：044622=++-+y x y x .（Ⅰ）当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设过点P 的直线与C 交于A 、B 两点，且AB CP ⊥，求以线段AB 为直径的圆的方程.（本题满分10分）（16）一个小朋友将七支颜色各不相同的彩笔排成一列. （Ⅰ）求红色彩笔与黄色彩笔相邻的概率;（Ⅱ）求绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的概率.（17）一次小测验共有3道选择题和2道填空题，每答对一道题得20分，答错或不答得0分.某同学答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.5.各道题答对与否互不影响.（Ⅰ）求该同学恰好答对1道选择题和2道填空题的概率；（Ⅱ）求该同学至少答对1道题的概率；（Ⅲ）求该同学在这次测验中恰好得80分的概率.(本题满分10分普通校学生做，重点校学生不做)（18）已知两点()()2,0,2,0M N - ，动点(),P x y 在y 轴上的射影为,H PH 是2和PM PN ⋅ 的等比中项.（I ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线1x y +=交以点M 、N 为焦点的双曲线C 的右支于点Q ，求实轴长最长的双曲线C 的方程.（本题满分10分重点校学生做，普通校学生不做）(18)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c -，Q 是椭圆外的动点，满足1||2.FQ a =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足220,||0.PT TF TF ⋅=≠（I ）设1x 为点P 的横坐标，求证：11||cF P a x a=+； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.草稿纸高二数学学科期末试卷答案9.1116 10 .8 11. 23t < 12. （0，1）； 20x y -+= 13.116922=-y x ；16 14.2注12，13小题每空2分)三.解答题15. （Ⅰ）解：设直线l 的斜率为k （若k 存在），则方程为 )2(0-=-x k y …（2分）又C 的圆心为C(3,-2) ， r=3,由112232=++-k k k 43-=⇒k ， …… （4分）直线l 的方程为)2(43--=x y ，即0643=-+y x ………（5分） 当k 不存在时，l 的方程为x=2. ………… （7分） （Ⅱ）依题意AB ⊥CP ,得P 为线段AB 的中点，即为以AB 为直径的圆的圆心……（9分） 已知C(3,-2) ，P （2,0），由两点间距离公式得5=CP . …… （10分）在直角三角形BCP 中，可求半径2BP =. …………（11分） 故以AB 为直径的圆的方程为4)2(22=+-y x . …………（12分）16.解：七支彩笔可排列总数为77A ，每一种排列出现的机会是等可能的 …………（3分） （Ⅰ）记红色彩笔与黄色彩笔相邻为事件A ，红色彩笔与黄色彩笔相邻的排列有6622A A 种，则P （A ）=72776622=A A A . ……………… （7分） （Ⅱ）记绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的事件为B ，则绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的概率为215255775()21A A A PB A == . … （10分） （注：学生（1）问求出红色彩笔与黄色彩笔相邻的概率可得满分，未写出是等可能的不扣分）17. 解：（Ⅰ）该同学恰好答对1道选择题和2道填空题的概率为12535.05.0)2.0()8.0(222113=⨯⋅=C C P . ……………… （4分） （Ⅱ）该同学至少答对1道题的概率为5004992151123=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛- . ……… （8分）（Ⅲ）设该同学在这次测验中恰好得80分为事件A ，他恰好答对2道选择题和2道填空题为事件B 1，他恰好答对3道选择题和1道填空题为事件B 2 则A=B 1+B 2，B 1，B 2为互斥事件.12()()()P A P B P B =+=2232223132324114144()55252125C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……（12分） 18. A （普通校）解：（Ⅰ）动点为(),P x y ，则()()()()0,,,0,2,,2,H y PH x PM x y PN x y =-=---=--…………………………… （2分）∴224PM PN x y ⋅=-+，且22PH x =. …………………………… （4分）由题意得22PH PM PN =⋅，即()22224x x y =-+，22184x y +=. …… （5分）PH 是2和PM PN ⋅ 的等比中项，点P 不能与点H 重合，0x ∴≠ .∴22184x y +=（0x ≠）为所求点P 的轨迹方程. ………………………… （6分） （Ⅱ）当直线1x y +=与双曲线C 右支交于点Q 时，而()2,0N 关于直线1x y +=的对称点为()1,1E -，则QE QN =∴双曲线C的实轴长2a QM QN QM QE ME =-=-≤（当且仅当 Q ，E ，M 共线时取“=”），此时，实轴长2a ；……………… （8分）所以，双曲线C 又∵122c MN ==，∴22232b c a =-= ∴双曲线C 的方程为2215322x y -=. …………………………… （10分）18.B （重点校）解：（Ⅰ）证明：设点P 的坐标为11(,).x y 椭圆的左准线方程为c a x 2-=. 由椭圆第二定义得11||||F P c a a x c=+，即2111||||||.c a c F P x a x a c a =+=+ 由11,0c x a a x c a a ≥-+≥-+>知，所以11||.c F P a x a=+ …………… 3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ， 得2TF ⊥.又由椭圆定义得a PF PF 221=+，如图可得a PQ PF 21=+ 则||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a F ==||21||1，所以有.222a y x =+ ………5分 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ …………………6分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ②将①代入②，可得.222a y x =+ ………………5分当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ ………………6分 （Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x由③得a y ≤||0，由④得20||.b y c = 所以，当c b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c b a 2<时，不存在满足条件的点M. …………………8分 当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F ……10分 解法二： 由上解法当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M. ………………………8分 当2b a c≥时， 100F M y k x c=+，200F M y k x c =-，由122F F a <，知1290F MF ︒∠<， 所以00200012222022022tan 21y y x c x c cy b F MF y b b x c--+∠====+-. ………10分③ ④。