浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法
云南省曲靖市宣威市羊场镇初级中学 张荣芝
【摘要】 解二元一次方程组最常用的方法是代人法和加减法，但对于一些特殊的二元一次方程组，若能根据方程组的特征，灵活运用一些技巧，不仅可以简化解题过程，而且有助于培养同学们的创新意识。
【关键词】二元一次方程组 巧解 创新意识 加减法
二元一次方程组的解题思路就是消元，通过消元把二元转化为一元。
消元分代入消元法和加减消元法，这是解二元一次方程组的基本方法。
解题时常遇到一些特殊形式的方程（组），它们结构巧妙而富有规律性。
此时应仔细观察题目的特点，抓住方程的结构特征或某种规律，联想一些解题方法与技巧，往往能避免常规解法带来的繁杂运算，找到较为简便的解法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。
整体代入法
例1 解方程组y x x y +=+-=⎧⎨⎪⎩⎪1423231
解：原方程组可变形为435231
x y x y -=--=⎧⎨⎩
继续变形为 2 x －3y+2 x=－5
2 x －3y=1
（2）代入（1）得：125+=-x x =-3
解得：y =-73 方程组的解为x y =-=-⎧⎨⎪⎩⎪373 再如：
2a ＋b ＝3 (1)
3a ＋b ＝4 (2)
解： （2）式变形为（2a ＋b ）＋a ＝4 (3)
,ax by m bx ay n +=⎧⎨+=⎩ 把（1）代入(3)得 3＋a ＝4
∴ a ＝1
把a ＝1代入（1）得b ＝1
∴原方程组的解是 a ＝1
b ＝1
二、直接加减法 a x+by ＝m
当方程组中未知数的系数具有轮换特点时，即类似于 bx + ay=n 的形式，可以直接将两个方程相加、减，反复两次，然后联立得到新方程，从而巧妙地迅速求解，我们称之谓反复加减法．
例2 解方程组 4x －3y ＝3 (1)
3x －4y ＝4 (2)
解： （1）＋（2）得 7x －7y ＝7
∴x－y＝1 （3）
(3)－（2）得x＋y＝﹣1 (4)
由（3），（4）得x＝0 x＝0
∴y＝﹣1
再如：
9779212,
7997140.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
可用此种方法快速求解
三、整体叠加法
例3 解方程组
35()36, 34()36. x x y
y x y
++=
⎧
⎨
++=
⎩
①
②
分析：两个方程的第一项未知数x、y的系数相同，并且都含有x y
+的倍数，故可将x y
+视为一个整体，把两方程相加，先求出x y
+的值，尔后将x y
+的值分别代入两方程即可得解．
解：（1）+（2）得
3(x+y)+9(x+y)=72 x+y=6（3）
把（3）代入（1）（2）得3x+30=36 x=2
3y+24=36 y=4
所以原方程组的解为x＝2
y＝4
四、消常数项法
例4 解方程组
2x－5y＝﹣3 （1）
﹣4x＋y＝﹣3 （2）
解：（1）－（2）得
6x －6y ＝0 化简得x ＝y （3）
把（3）代入（1）得y ＝1 把y ＝1代入（1）
得x ＝1
所以原方程组的解为 x ＝1
y ＝1
再如：解方程组73890,2367180.x y x y -=⎧⎨-=⎩
①
② 五、设参数代入法
例5 解方程组 x －3y ＝2（1）
x:y=4:3（2）
解：由（2）得：x y 43=
设x y k 43==，则x=4k,y=3k(3)
把（3）代入（1）得：492k k -=
解得：
k =-25 把
k =-25代入（3），得：x y =-=-8565， 所以原方程组的解是x y =-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
856
5 六、换元法
所谓换元法，就是把一个数学式子或者其中的一部分看作一个整体，用一个中间变量去代换，从而达到简化式子的目的。
例6 解方程组
2323
7,
43
2323
8.
32
x y x y
x y x y
+-
⎧
+=
⎪⎪
⎨
+-
⎪+=
⎪⎩
①
②
分析：从该方程组的特点可以看出，把23,23
x y x y
+-各视为一个整体，利用换元法较为简捷。
解：设2x＋3y＝a, 2x－3y＝b 则原方程组可变形为
3a+4b＝84
2a+3b＝48
解得a＝60
b＝-24
2x＋3y=60 x＝9
代入得2x－3y＝-24 解得这个方程组，得y＝14
用换元法解方程组可化繁为简，不仅可减少运算量，还可以又快又准地解出方程。
七、对称方程组的解法
例7解方程组x／5＋y／7＝12
y／5＋x／7＝12
分析：观察方程组不难发现，把期中任意一个方程中的两个未知数互换位置，得到的方程恰为另一个方程。
不难验证，在这种情况下将原方程组中任一方程与y＝x联立求得的解即为原方程组的解。
解：原方程组与下列方程组的解相同
x／5＋y／7＝12 （1）
y＝x （2）
把（2）代入（1）得x＝35，把x＝35代入（2）得y＝35
所以原方程的解为x＝35
y＝35
八、简化系数法
例8解方程组4x－3y=3(1)
3x－4y=4(2)
解：( 1)＋(2)得：7x－7y=7
所以x－y=1(3)
(1)－(2)得：x+y=－1(4)
由(3)(4)得：
x
y
=
=-⎧
⎨
⎩
1
其实解二元一次方程组的方法远远不止以上几种，有些二元一次方程组有特殊的结构，选择适当的方法可以使方程组的求解变得简单易行。
【参考文献】七年级下册数学《教材1+1》；
七年级下册数学《完全解读》
简介：
姓名：张荣芝；性别：女；民族：汉族
地址：宣威市羊场镇初级中学手机号：。