塑性应变 弹性应变
C
B
E

1
图1-6 土体非线性变形特性
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第三节 非线性弹性地基模型
邓肯─张模型认为在常规三轴试验条件下土的加载和卸载应 力-应变曲线均为双曲线，可以用下式表示。
1 3
a b 1

1
( 1 3 ) ─偏应力, 常规三轴试验中为轴向压力；
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1. 文克勒地基模型（文克勒于1867年提出）
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2. 弹性半空间地基模型
弹性半空间地基模型： 是将地基视作均匀、各 向同性的弹性半空间体。 • (1) 集中荷载Q 当Q作用在弹性半空间 体表面上时(图1-3)，根据 布西奈斯克（Boussinesq） 公式可求得位于距离荷载 作用点O为r的点i的竖向位 移为：
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第四节 地基模型参数的确定
地基模型参数确定的重要性 地基模型确定后，地基模型参数的确定方法便成为设计 人员首先需要考虑的问题。这是因为，无论所选择的地基模 型是如何合理，如果模型中参数的测定方法不合理或无法准 确获得，则岩土工程的质量及精度也难以保证。 因此，地基模型参数的确定在地基基础的设计中是极其 重要的，它不仅仅是岩土测试的直接结果，同时还要考虑理 论与实测性状的一致性，并根据实践经验予以综合确定。 一、 常见地基模型参数的确定方法 弹性半空间模型的E：室内循环加载试验的初始切线模量。 分层地基模型的参数Es：室内侧限压缩试验确定。 ν：一般取0.2~ 0.4，若考虑瞬时变形，泊桑比取0.5。 下面主要介绍文克勒地基模型中基床系数k的确定方法。
1 3 1 3 2 Et Ei 1 b 1 3 Ei 1 1 1 3 utl 1 3 f 定义破坏比： Rf b 1 3 f 1 3 ult
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• • •

1. 文克勒地基模型（文克勒于1867年提出）
模型描述：假定地基是由许多独立的且互不影响的弹簧 组成，即假定地基任一点所受的压力强度p只与该点的地基变 形s成正比，而p不影响该点以外的变形（图1-2）。 其表达式为： p ks k─地基基床系数, 表示 产生单位变形所需的 压力强度，kN/m3； p─地基上任一点所受 的压力强度，kPa； s─p作用点位置上的地 基变形，m。
Q 1 2 s Er


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2. 弹性半空间地基模型
对上式进行积分求得：
s 0 2 2
a 2 0 b 2 0
• (2) 均布荷载作用下矩形面积的中点竖向位移(图1-4)
P dd 1 2 ab E 2 2


P 1 2 Fii Ea
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非线性弹性地基模型归纳起来集中反映在 Et 和 t 的求解。 在计算时，切线模量所需的 5 个试验常数可用常规三轴试验 获得。
该模型在荷载不太大的条件下 (即不太接近破坏的条件下） 可以有效地模拟土的应力应变的非线性, 在高应力水平下是不 合适的。 邓肯-张模型是非线性弹性地基模型，在计算中要采用增 量法，能用于建筑与地基基础共同作用的研究，并获得与实 际相符的结果，该模型的主要缺点是忽略了应力路径和剪胀 性的影响。必须指出，把土的应力应变曲线视作非线性弹性 是不合理的，实际上土的卸载与加载路线是不重合的。 邓肯-张模型是建立在广义虎克定律的弹性理论基础上的， 容易为工程界接受，模型所用参数物理意义明确，只需常规三 轴试验即可获得，适用土类较广，已为岩土工程界所熟知，并 得到了广泛应用，成为最为普及的土体本构模型之一。
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根据不同的周围应力 3 可得一系列a和b值，分析 3 和 Et 的 n 关系得到： 3 E i Kp a (1-14) p a p a ──单位与 相同的大气压力。 3
把式(1-12)、式(1-13)和式(1-14)代入式(1-11)，得：
1 2 2
4


第二节 线性弹性地基模型
适用条件： 实际的基础刚度大多是介于柔性基础和绝对刚性基础二种极 端情况之间的，故这些基础底面下的地基反力分布是复杂的。 当建筑物荷载较小，而地基承载力较大时，地基土应力应变 关系可采用线弹性地基模型分析。 常用的三种线性弹性地基模型： 文克勒（Winkler）地基模型 弹性半空间地基模型 分层地基模型 文克勒地基模型和弹性半空间地基模型正好代表线性弹性地 基模型的两个极端情况，分层地基模型也属于线性弹性地基 模型。
地基模型



第一节 概述 第二节 线性弹性地基模型 第三节 非线性弹性地基模型 第四节 地基模型参数的确定 第五节 地基的柔度矩阵和刚度矩阵 第六节 地基模型的选择
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地基模型


第一节 概述
地基模型: 描述地基土应力和应变关系的数学表达式。 • 合理地选择地基模型是基础工程设计中的一个重要 问题，要根据建筑物荷载的大小、地基性质以及地基 承载力的大小合理选择地基模型。 • 所选用的地基模型应尽可能准确地反映土体在受到 外力作用时的主要力学性状，同时还要便于利用已有 的数学方法和计算手段进行分析。 • 随着人们认识的发展，曾先后提出过不少地基模型， 主要的类型有：线性弹性地基模型、非线性弹性地基 模型、弹塑性地基模型。 本章主要介绍线性弹性地基模型
1 a
1 1 , b
b 1 1 3 ult
1 3 ult ─偏应力的极限值，即当 1 →∞时的偏应力值。
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切线模量 地基土在荷载作用下的应力-应变关系分析中需要知道 土的模量，邓肯-张通过对双曲线函数取偏导，得到用来 计算地基中任一点的切线模量Et的公式为：
Esi
i 1
Hi
Hi─基底下第i分层土的厚度； Esi─基底下第i分层土的对应于p1i～p2i段的压缩模量； zi ─基底下第i分层土的平均附加应力； n ─压缩层范围内的分层数。
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3. 分层地基模型
该模型能较好地 反映地基土扩散应 力和变形的能力， 能较容易地考虑土 层非均质性沿深度 的变化和土层的分 层，通过计算表明， 分层地基模型的计 算结果比较符合实 际情况。 但是，这个模型 仍系弹性模型，未 能考虑土的非线性 和过大的地基反力 引起地基土的塑性 变形。
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1. 文克勒地基模型（文克勒于1867年提出）
适用条件：地基土越软弱，土的抗剪强度越低，该模型就 越接近实际情况。 优点：计算简便，k选择得当，可获得较满意的结果。 存在问题：文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，按文 克勒地基模型，地基变形只能发生在基底范围内，而基底范 围外没有地基变形，这与实际情况是不符的，使用不当会造 成不良的后果。 基床系数：地基土基床系数值可参考表1-1。基床系数也可 根据不同地基分别采用现场载荷板试验、室内三轴试验或室 内固结试验成果获得。
[ De ] 为弹性矩阵。
[注解] 弹性体的应力-应变关系服从虎 x y z yz yz E G y ; z ; zx ; xy E 1 x y z x yz G yz (1 )(1 2 ) y ; z ; zx ; xy .
3 Et Kp a p a
n
R f 1 sin 1 3 1 2 c cos 2 sin 3
2
K，n，c， ，R f即是确定切线模型的5个试验参数。 式中：
邓肯-张还建立了在室内常规试验条件下轴向应变 1 与侧向 应变 3 的非线性关系，求导同样可得切线泊桑比 t 。但是在实 际应用中，通常用定值泊桑比来分析。
1 ─常规三轴试验中的轴向主应变；
3 ─常规三轴试验中的周围压力；
a和b─均为试验参数。
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a和b值的物理意义。 对于确定的周围应力， a和b值为常数。
1 3 1 1 a b 1
1 1 0, a Ei
Ei─初始切线模量；
1 3
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第三节 非线性弹性地基模型
地基土的加载应力-应变关系 1 D 3 实测曲线呈非线性(图1-6)，这 与地基土应力-应变关系线性假 C C 设关系是不一致的。 1963年，康德尔(Konder) 根 据试验结果提出土的应力-应变 关系为曲线型； 1970年，邓肯 A (Duncan)和张(Chang)根据这个 关系并利用摩尔-库仑强度理论 导出了非线性弹性地基模型的 D 切线模量公式，即邓肯─张模型。O
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第二节 线性弹性地基模型
线性弹性地基模型：地基土在荷载作用下，其应力-应变的 关系为直线关系，并可用广义虎克定律表示： 用矩阵表示：
＝De
{} ＝ { x y z xy yz zx }T ; { }＝ { x y z xy yz zx }T


P─矩形面积a×b上均布荷载p
的合力，kN；
Fii为积分后得到的系数。
Fii 2
2 2 a b b a a a ln ln 1 ln 1 1 b a a b b b
2
为内摩擦角 和内聚力 c 的函数，即：
( 1 3 ) f破坏时的偏应力，根据摩尔 -库仑破坏准则可表示