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②运动分析
由力的分解和几何关系可得：
F 合＝ mgtan α
r＝ lsinα
由 F 合＝mω 2·r 得 ω＝
g lcos
α
，cos
α＝ωg2l.
结论：缆绳与中心轴的夹角 α 跟“旋转秋千”的 角速度
和 绳长 有关，而与乘坐人的质量 无关 ．在 l 一定
4．列举实例，指出圆周运动在人类文明进程中的广泛应 用．认识到圆周运动对人类文明发展有重大影响．
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汽车过拱形桥 (1)汽车过拱形桥时做圆周运动，所需向心力由 重力G 和桥 对汽车的 支持力N 的合力提供．
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(2)拱形桥上汽车的受力特点
①汽车在凸形桥最高点时 (如图 2－3、4－1) v2
向心力： F n＝ G－N＝m R ； 支持力： N＝G－mvR2<G，汽车处于 失重状态． 图2－3、4－1 由以上两式可得：v 越大，支持力N 越小，向心力F n 越大 ， 当 F n＝G 时，N＝0.
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时， ω越大 ，α 也 越大 ．
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火车转弯 (1)运动特点 火车转弯时做的是圆周运动．因而具有向心加速度，需 要 向心力 ． (2)转弯处内外轨一样高的缺点 如果转弯处内外轨一样高，则由 外轨对轮缘的弹力 提供 向心力．这样铁轨和车轮极易受损．
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(3)铁路弯道的特点 ①转弯处 外轨 略高于 内轨 ．
②铁轨对火车的支持力不是竖直向上的 ，而是斜向弯道 的 内侧 ． ③铁轨对火车的支持力与火车所受重力的合力指向 圆心 ，它 提供了火车做圆周运动所需的 向心力 ．
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图2－3、4－5
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(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达最高 点的临界速度 v 临界＝0. (2)图 2－3、4－5(a)所示的小球过最高点时，轻杆对小球的 弹力情况． ①当 v ＝0 时，轻杆对小球有竖直向上的支持力 N，其大小 等于小球的重力，即 N＝mg. ②当 0<v < rg时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小 随速度的增大而减小，其取值范围是： 0<N<mg.
离心运动
(1)做圆周运动的物体，在向心力突然 消失
或
合力不足以提供所需的向心力 时，物体沿切线方向飞去或
逐渐远离圆心 ，这样的运动叫做离心运动． (2)做圆周运动的物体，由于本身惯性 ，总有沿着切圆线周
方向飞去的倾向．当物体所受合力 F ＝mRω2时，物体
做圆周运动；当F ＝0时，物体沿切线方向飞出；当
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②汽车在凹形桥最低点时 (v如2 图 2－3、4－2)
向心力： F n＝ N－G＝m R
；
支持力：N＝G＋mvR2>G，汽车处于 超重状态．
由以上两式可得： v 越大，支持力 N 越大 ，
向心力 F n 越大 ．
图2－3、4－2
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一、竖直平面内圆周运动的两种模型 绳模型 如图2－3、4－4所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面 内做圆周运动在最高点的情况．
图2－3、4－4
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(1)临界条件：小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚
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旋转秋千 (1)运动特点 人(座椅)在 水平面 内做圆周运动，悬线旋转成一个圆锥 面(圆锥摆)．(如图2－3、4－3)
如图2－3、4－3自主学习名师解疑源自分类例析课堂对点演练
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(2)运动分析 将“旋转秋千”简化，可以看作如右图的物理模型： ①向心力 做圆锥摆运动的小球在水平面内做匀速圆周运动的向心力 是由其受到的重力mg和悬线拉力T的合力F 合提供的．
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③当 v＝ rg时，N＝0. ④当 v> rg时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度 的增大而增大.
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(3)图 2－3、4－5(b)所示的小球过最高点时，光滑硬管对小 球弹力的情况． ①当 v＝0 时，玻璃管内壁对小球有竖直向上的支持力其大 小等于小球的重力，即 N＝mg.外壁对小球没有作用力． ②当 0<v < rg时，玻璃管内壁对小球的支持力竖直向上，其 大小随速度的增大而减小，其取值范围是： 0<N<mg.外壁作 用力仍为 0. ③当 v ＝ rg时，内壁和外壁对小球的作用力都为 0. ④当 v > rg时，玻璃管内壁对小球的支持力为 0，外壁对小 球有指向圆心的弹力，其大小随速度的增大而增大．
3 圆周运动的实例分析 4 圆周运动与人类文明 (选学)
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1．分析铁轨拐弯处的设计、骑自行车转弯等实例的动力学 关系．
2．认识向心力是以效果命名的力；知道什么是离心现象， 说出物体做离心运动的条件．
3．通过列举实例，感受圆周运动在生活、生产中的应用价 值，说明离心运动的应用和防止．
好等于零，小球的重力提供做圆周运动的向心力，即 mg＝
v m
2
临r 界，上式中的
v
临界是小球能够通过最高点的最小速度，
通常叫临界速度 v 临界＝ rg.
(2)能过最高点的条件：v ≥v 临界(此时，绳、轨道对球分别产
生拉力、压力)．
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杆模型 如图2－3、4－5所示，有物体支撑的小球在竖直平面内做 圆周运动过最高点的情况．
F <mRω2时，物体逐渐远离圆心．
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(3)在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力由车轮与 路面间的静摩擦力提供． 如果转弯时速度过大， 所需向心力 F n 很大，大于最大静摩擦力时，最大静摩擦力 不足以提供向 心力，即 F max<mvR2，汽车将做离心运动 .