+ σ 22σ 33
+ σ 33σ 11
−
σ
2 12
−
σ
2 23
−
σ
2 31
I3
= σ 11σ 22σ 33
+ 2σ 12σ 23σ 31
−
σ
11σ
2 23
−
σ
22σ
2 31
−
σ
33σ
2 12
分别称为应力状态的第一、第二和第三不变量。
现定义平均应力σ m 为
(4-5)
σm
=
1 3
(σ
11
+ σ 22
2
Chinn 和 Zimmerman(1965)试验做到第一应力不变量 I1 = −79 fc′ 还没有破坏迹象，压 子午线没有趋向静水压力轴。但也有人有不同见解，因为混凝土材料实际上为非均 质材料，骨料水泥浆之间有空隙，也有可能在高静水压下，骨料压酥。
江见鲸教授在总结混凝土的破坏面的特点时指出（见图 4-3）： (1) 三向应力下混凝土的破坏面是与三个方向应力都有关的函数，是一个在等压 轴方向开口的曲面．即在三向等压情况下，混凝土的强度随着压力的增加而提高。 (2) 这个曲面是一个光滑的凸曲面。无论在偏平面(ξ ＝常量、与π 平面平行的平 面)上截面的外形曲线还是在子午面(θ ＝常量的平面)上的截线均是光滑的凸曲线。 (3) 在θ ＝常数的子午面上的截线是曲线，不是直线；在ξ ＝常数偏平面上的外 形曲线是非圆曲线，但随着ξ 的增大而越来越接近圆形。
与应力张量相似，我们可以求出应力偏量的主应力偏量，其相应的特征方程为
展开后可得三次方程
Sij − Sδ ij = 0
（4-9）
式中：
S 3 − J1S 2 − J2S − J3 = 0
(4-10)
J1 = S11 + S22 + S33 = 0
J2
=
−S11S 22
− S 22 S33
− S33S11
进而可求出 3 个主应力值
⎧ ⎪
cosθ
⎫ ⎪
⎧σ ⎪⎨σ
1 2
⎫ ⎪ ⎬
=
⎪⎨⎧SS12
⎫ ⎪ ⎬
+σ
m
⎧1⎫ ⎪⎨1⎪⎬
=
2
⎪⎩σ 3 ⎪⎭ ⎪⎩S3 ⎪⎭
⎪⎩1⎪⎭
J2 3
⎪ ⎪⎨cos(θ ⎪ ⎪⎪⎩cos(θ
− +
2
3 2
3
π π
⎪ )⎪⎬ ⎪ )⎪⎪⎭
+
1 3
⎪⎨⎧II11 ⎪⎩I1
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
图 4-2 破坏曲面的偏平面与子午线
根据一些试验结果，混凝土破坏面的子午线与偏平面有下列特征： (1) 子午线形成光滑曲线，并与静水压应力 I1 或ξ 值有关； (2) 偏平面上 ρt ρc ≤ 1，下标 t、c 分别表示拉、压子午线； (3) 对于各向匀质的材料，其破坏曲面在偏平面上形成三轴对称，形状如图 4-2a 所示。 ρt ρc 比值随静水压值增大而增大，在π 平面上接近 0.5；当ξ = −7 fc′ 时，比 值接近 0.8。可以认为，在静水压小时，偏平面上的断面形状接近光滑的三角形，在 静力压大时．偏平面上断面形状接近圆形， (4) 在纯静水压下会不会发生破坏，还没有试验资料证实，理论上似乎不会。
的不变量有如下关系：
图 4-4
σ oct
=
1 3
(σ
1
+σ2
+σ3)=
I1 3
=σm
7
（4-21）
τ oct
=
1 3
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 =
2 3
J
2
(4-22)
还有一组常用的应力值为平均正应力与平均剪应力(又称均方剪应力)。对某点应 力状态，在该点邻域内取一微球体，球半径 r，球表面积为 S。作用在球面上的应力
+ σ 33 ) =
I1 3
(4-6)
4
然后定义应力偏量
Sij = σ ij − σ mδ ij
（4-7）
式中δ ij 为 δ 函数，有
δ ij＝⎩⎨⎧10
当i = j 当i ≠ j
显然．知道了平均应力和应力偏量的各分量，则很易求得应力张量的各分量，
即
σ ij = Sij + σ mδ ij
（4-8）
f (σ1,σ 2 ,σ 3 ) = 0 f (I1, J2, J3) = 0
f (ξ , ρ,θ ) = 0 f (σ oct ,τ oct ,θ ) = 0
图 4-1 混凝土弹性极限面与破坏面
1
混凝土的破坏面一般可用破坏面与偏平面相交的断面和破坏曲面的子午线来表 达，如图 4-2a ,b 所示。偏平面就是与静水压力轴垂直的平面，通过原点的偏平面称π 平面。拉压子午面为静水压力轴与一主应力轴(如σ 3 轴)组成的平面，同时通过另两 个主应力轴(σ1 和σ 2 )的等分线。此平面与破坏包络面的交线，分别称为拉、压子午 线。
4.4.1 混凝土破坏面的描述
混凝土的弹性极限面和破坏曲面可用三个主应力坐标轴σ1、σ 2、σ 3 来表示，如 图 4-1 所示。为了用数学方法表达方便，又可用应力不变量 I1、J 2、J 3 来表示，或用 圆柱坐标系统亦称为 Haigh-Westergaard 坐标(即ξ、ρ、θ ) 来表示，也用八面体应力 坐标铀来表示。因此，破坏曲面的函数方程式可表达为
当然，我们也可令
(4-16)
S = r sinθσ
（4-17）
取
⎧ ⎪⎪
r
⎨
⎪⎪⎩sin
= 3θ σ
2 3 =
J2 − 4J3
r3
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
代入(4-10)式可得
（4-18）
sin 3 θσ
−
J2 r2
sin θ σ
−
J3 r3
≡ sin 3 θσ
−
3 4
sin
θσ
+
1 4
sin
3θσ
≡0
拉子午线的应力条件为σ1 ≥ σ 2 = σ 3 ，线上的特征强度点有单轴受拉( ft ，0，0) 和二轴等压( 0,− fbc ,− fbc )，偏平面上的夹角为 θ ＝0°；压子午线的应力条件则为 σ1 = σ 2 ≥ σ 3 ，线上有单轴受压( 0,0,− fc )和二轴等拉( ftt , ftt ,0 )，偏平面上的夹角θ ＝ 60°。拉压子午线与静水压力轴同交于一点，即三轴等拉( fttt , fttt , fttt )。
图 4-3
4.4.2 一参数至五参数混凝土强度准则模型
1. 应力状态不变量及其几何意义 在单轴应力状态下确定混凝土的强度用一个指标( fc 或 ft )就行了；在双向受力 状态下，对不同的应力比σ1 σ 2 作了大量的实验，可通过 fc ， ft 和 fbc （等轴双压强 度）的包络曲线来表示，在三向受力状态下．问题更加复杂，混凝土的强度要考虑 不同应力分量之间的相互影响，就要用应力状态的某种函数来表达，在三维空间可 用一个破坏包络曲面来表示。这一问题很早就得到了研究．在材料力学中就提出过 5 个古典强度理论。近十多年来，根据混凝土不同应力比(σ1：σ 2：σ 3 )下所作破坏实验 的结果、又提出了不少破坏准则。 这些破坏准则，是应力状态σ ij 或其主应力 (σ1,σ 2 ,σ 3 ) 的函数。为了表达方便，
角方程的解法。
令
代入式(4-10)可得
S = r cosθ
（4-12）
若取
cos3 θ − J 2 cosθ − J 3 = 0
r2
r3
（4-13）
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
J2 r2 J3 r3
= =
3
4 cos 3θ
4
⎧
即
⎪⎪r ⎨
=
4J2 3
⎪⎪⎩cos 3θ
=
4J3 r3
（4-14）
5
则与下列三角恒等式相同
⎡σ 11 − σ
⎢ ⎢
σ 21
⎢⎣ σ 31
展开后可得三次方程
σ 12 σ 22 − σ
σ 32
σ 13 ⎤
σ 23
⎥ ⎥
=
0
σ 33 − σ ⎥⎦
（4-3）
式中：
σ 3 − I1σ 2 + I 2σ − I3 = 0
(4-4)
I1 = σ 11 + σ 22 + σ 33
I2
= σ 11σ 22
3
cos 3θ = 4 ×198 = 0.5623 11.213
3θ = 55°47' ,θ = 18°35'
代入公式可得
σ 1 = 10.64 + 11.333 = 21.973
σ 2 = −2.216 + 11.333 = 9.117
σ 3 = −8.41 + 11.333 = 2.923
求得了主应力值，进而可确定主应力的方向，这里不再细述。 在弹塑性力学中，有几个与应力张量或应力偏量不变量相关的特殊应力，它也 常作为某点应力状态的表征。最常用的是八面体应力。以主应力为坐标轴，与主应 力轴等倾的面有 8 个。组成一个八面体，如图 4-4。等倾面上的应力称为 8 面体应力， 将八面体应力分解为正应力(与等倾面垂直)与剪应力(在等倾面内)，称为八面体正应 力与剪应力，常用σ oct 与τ oct 表示。由微体平衡条件可以求得其与主应力及应力状态
σ ij = σ ji 。其中 6 个分量是独立的，所以在有限元分析中也常用 6×1 阶的矩阵(应力 向量)来表示。常用的应力状态表示方法有