第1章行列式（共4学时）一、教学目标及基本要求1．了解逆序数的概念2．掌握n阶行列式的定义和行列式的性质3．掌握行列式的按行（列）展开定理4．利用行列式的性质和展开定理计算行列式的值二、教学内容与学时分配1．预备知识2．n阶行列式的定义（2学时）3．行列式的性质4．行列式的展开（2学时）三、教学内容的重点及难点重点：利用行列式性质及展开计算行列式难点：行列式的计算技巧四、教学内容的深化和拓宽行列式的拉普拉斯展开定理及行列式在实际中的应用，或讲稿中部分结论推广五、思考题与习题思考题：见讲稿作业：2，（2），（4），（6）；3，（1），（3）；7，（1），（3），（5）六、教学方式与手段注意行列式定义的引入，应用启发式讲稿内容1.1 预备知识为什么要学习行列式呢？因为它是一个很重要的数学工具，在数学的各个分支中都经常用到，比如，用二阶行列式来解二元线性方程组，用三阶行列式来解三元方程线性组等；又如，已知平面的三点),(),,(),,(332211y x y x y x ，则以这三点为顶点的三角形面积为下面行列式的绝对值：.11121332211y x y x y x 这一章主要引进行列式的概念并讨论行列式的性质，以及利用行列式的性来计算行列式的值。

下面我们利用线性方程组的求解引入行列式的概念。

设有二元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)2()1(22221211212111b x a x a b x a x a可用消元法来解该方程组。

1222211211222111222)(:)2()1(a b a b x a a a a a a -=-⨯-⨯ 2111122211222112111)(:)1()2(a b a b x a a a a a a -=-⨯-⨯若0)(21122211≠-a a a a ，则211222112111122211222111222211,a a a a ab a b x a a a a a b a b x --=--=如果我们定义bc ad dc b a -=，dc b a 称为二阶行列式，横排称为行，纵排称为列，二阶行列式共有二行二列四个元素，其值等于主对角线元素之积与次对角线元素之积的差。

这样一来，二元线性方程组的解可简单表示为DD x D D x 2211,==其中22211211a a a a D =为方程组未知数的系数所组成的行列式称为方程组的系数行列式；2221211a b a b D =（用方程组的常数项代替系数行列式的第1列）2211112b a b a D =（用方程组的常数项代替系数行列式的第2列）类似地，我们可用三阶行列式来解三元线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ＋定义322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==332112322311312213a a a a a a a a a --- 且0≠D ，则DD x D Dx D D x 332211,,===这里的D 是由三行三列组成的三阶行列式，每个ij a 为三阶行列式的一个元素，i 表示行标，j 表示列标，i 行、j 列的交叉点就是元素ij a 。

前面我们定义了二阶、三阶行列式，要引入)3(>n n 阶行列式，上面的方法显然是不行的，一方面，行列式的阶数增大，等式右边的项数也必增多，写出所有的项数较困难（n 阶行列式右边有!n 项），也没有必要；另一方面，等式右端每一项的符号何时取正？何时取负？为此，首先介绍，全排列、逆序数等概念。

把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列，简称排列。

如3个不同元素3,2,1的所有可能排列有：.312,321,231,213,132,123n 个不同元素的所有不同排列的个数，称为排列数，通常用n P 表示，如上63=P如求n 个自然数n ⋅⋅⋅,3,2,1的全排列数!123)1(n n n P n =⋅⋅⋅⋅⋅-=在!n 个不同排列中，规定某一个排列为标准顺序的排列，一般地，规定从小到大的排列为标准顺序（标准排列或称为自然排列）。

如果在一个排列n j i S S S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21中，j i S S >而i S 在j S 的前面，则说它们形成了一个逆序（或反序），一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，用][1n s s t ⋅⋅⋅表示。

如0]123[=t ， 1]132[=t ， 3]321[=t)(][111小的数的个数后面比s s s s t n =⋅⋅⋅ )(22小的数的个数后面比s s +⋅⋅⋅+ )(11小的数的个数后面比--+n n s s)(22大的数的个数前面比s s =)(33大的数的个数前面比s s + ⋅⋅⋅+)(大的数的个数前面比n n s s +如510013]421365[=++++=t ，或510121]421365[=++++=t又如).1(2112)2()1(]321)1([-=++⋅⋅⋅+-+-=⋅⋅⋅-n n n n n n t 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。

将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。

定理1 一个排列中，任意两个元素对换排列改变奇偶性。

证明：分相邻对换与非相邻对换两种情形来证明。

情形1：相邻对换.1111m l m l b bab a a b abb a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒⋅⋅⋅⋅⋅⋅易知经过相邻对换后，11,,,,,l m a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅中的任何两个元素间的逆序个数没有变化，同时b a ,两个元素与元素11,,,,,l m a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅所形成的逆序总个数也没发生变化， 因此只有b a ,两个元素本身之间的逆序的个数发生了变化。

设[]11l m t a a abb b t ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，则当b a <时，即b a ,不构成逆序，经过相邻对换后，b a ,构成逆序，所以[]111l m t a a bab b t ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+。

当b a >时，即b a ,构成逆序，经过相邻对换后，b a ,不构成逆序，所以[]111l m t a a bab b t ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-。

即不论b a >，还是b a <，经过相邻对换后排列的逆序数不是增加1就是减少1，从而排列的奇偶性发生改变。

情形2：非相邻对换.111111n m l n m l c ac b bb a a c bc b ab a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 设其对换过程为1111111.m l m n l m n a a ab b bc c a a bab b c c +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−→⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅b 经过次相邻对换m −−−−−−→a 经过次相邻对换.111n m l c ac b bb a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅共经过了12+m 次相邻对换，所以前后两个排列的奇偶性相反。

推论 奇排列调成标准排列的对换次为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。

有了以的基本概念，我们可以给出n 阶行列式的定义。

1.2 n 阶行列式的定义为了得到n 阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构，三阶行列式的定义为322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++= 332112322311312213a a a a a a a a a --- （1）等式右端是6项（3！项）之和，其中3项为正，3项为负，每项都是位于不同行不同列的元素的乘积。

（2）每一项各元素的行标排列成123，因此右端的任意一项除符号外可写成321321p p p a a a 的形式，其中321p p p 为123的某个排列。

显然也可把右端每一项的列标排成自然顺序123，而行标写为123的某个排列321p p p ，即除符号外，行列式的每一项可写为321321p p p a a a 。

（3）行标排列的逆序数为0带正号项的列标排列为123 312 231 逆序数 0 2 2 带负号项的列标排列为321 132 213 逆序数 3 1 1 易知带正号的项其列标排列的逆序数为偶数 带负号的项其列标排列的逆序数为奇数如果我们假设321p p p 的逆序数为t ，则三阶行列式可定义为∑-==⨯32132132133333231232221131211)1(p p p p p p tij a a aa a a a a a a a a a仿此可得n 阶行列式的定义：定义 2n个数排列成n 行n 列的一个表D a a a a a a a a a nnn n nn=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅212222111211，并按下式计值∑∑⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-=)(21)(2121212121)1()1(n n n n p p p n p p p tp p p np p p ta a aa a aD ，其中][1n p p t t ⋅⋅⋅=，n p p ⋅⋅⋅1为n ⋅⋅⋅3,2,1的全排列，则称D 为n 阶行列式。

当n 取2或3时即为前面所讲的二阶或三阶行列式，1=n 时，a a = 例 计算下列行列式的值 1．对角行列式12111122212()(1)n n t i iip p np p p nnna a a a a a a λλλλ⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑令在行列式nn ija ⨯中，不论0=<>ij a j i j i 都有或，因此在n np p p a a a ⋅⋅⋅2121中只有当n p p p n =⋅⋅⋅==,,2,121不为0，其余各项均为0。

故原式1n λλ=⋅⋅⋅2．=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-+-1121)1(21n n ni n i i na a a a λλλλ令∑⋅⋅⋅⋅⋅⋅-)(212121)1(n n p p p np p p ta a a此题不为0的元素有这样的特点1+=+n j i乘积n np p p a a a ⋅⋅⋅2121中，只要有一个元素为0，则整个乘积为0，要使乘积不为0，则每一个元素均不为0，即满足1,1,112,112121=⋅⋅⋅-==⇒+=+⋅⋅⋅+=++=+n n p n p n p n p n n p n p原式n n n n n n n n t a a a λλλ⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-=--⋅⋅⋅-21)1(211)1(21]321)1([)1()1(3．nnnna a a a a a D 000022211211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=（主对角线以下的元素全为0，称为上三角行列式）解：据行列式的特点，对每个⎩⎨⎧≤>=ji a ji a ij ij 0由于∑⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=)(212121)1(n n p p p np p p ta a aD ，从而不同行不同列的所有元素乘积中，不为0的项必须满足1,,1,,1,,2,111121=⋅⋅⋅-==⇒≥-≥⋅⋅⋅≥≥--p n p n p n p n p p p n n n n故nn a a a D ⋅⋅⋅=22114．1212121223(1)1()01000020(1)(1)0001000n n t t p p np n n n p p p a a a a a a a n n-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅∑[231]1(1)!(1)!t n n n n ⋅⋅⋅-=-=-从行列式的构成可知，不为0的项，只有1212,3,,,1n n p p p n p -====L思考题：用行列式的定义说明：一个n 阶行列式中等于零的元素的个数，若比2n n -多，则此行列式必等于零。