排列、组合及二项式定理
一、计数
yi 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 f 1. 分类加法计数原理定义
完成一件事，可以有n 类办法，在第一类办法中有 ml 种方 法，在第二类办法中有 m2种方法，……，在第n 类办法中 有mn 种不同的方法，那么，完成这件事情共有 N = m1 + m2+…+mn 种不同的方法. 2 .分步乘法计数原理定义
完成一件事情需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第一步有 ml 种方法，做第二步有m2种方法， ，做第n 步有mn 种 方法,那么完成这件事共有 N= ml m2…mn 种不同的方法.
3 .分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系
联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数.
区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立， 用其中的任一种方法都可以完成这件事； 分步乘法计数原理与 分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件 事才算完成. 4.分类分步标准
分类就是一步到位，（1）类与类之间要互斥；（2）总数完整。
分步是局部到位，（1）按事件发生的连贯过程进行分步；（2） 步与步之间相互独立，互不干扰； （3）保证连续性。
f 排列与组合
1. 排列
（1）排列定义：从n 个不同元素中，任取 m （mc n ）个元素， 按
照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个排列.
（2）排列数公
式：
Am= c m A m = n(n — 1)(n — 2)…(n — m+ 1)
或写成Am=
（3）特征：有序且不重复
2. 组合
1）组合定义：从n 个不同元素中，任取 m （m< n ）个元素组 成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
n !
(n —
m)!
特殊:An n=n 匸 n(n-1)!
!
写成Omr — .
m! (n — m)!
(3)组合数的性质
① Om= C n — m ； ② Orm-1 = Omb Cn — 1. (4)特征：有序且不重复
3. 排列与组合的区别与联系： 区别：排列有序，组合无序
联系：排列可视为先组合后全排
4. 基本原则：（1）先特殊后一般；（2）先选后排；（3）先分类后 分步。
f 排列组合的应用（常用方法：直接法，间接法） 1. 抽取问题：
（1） 关键：特殊优先；
（2） 题型：① 把n 个相同的小球，一次性的放入到 m 个不同的 盒子中（n W m ）,每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？ Cmn ② 把n 个相同的小球，依次性的放入到 m 个不同的
盒子中（n W m ）,每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？ Amn ③ 把n 个相同的小球，放入到 m 个不同的盒子中
（n W n ）,每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法？ mn ④ 把n 个不同的小球，放入到 m 个不同的盒子中
（n W m ）,每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？ Amn ⑤ 把n 个相同的小球，依次性的放入到 m 个不同的
盒子中（n 》m ）,每个盒子至多 1个，有多少种不同的方法？ Cn-1m-1隔板法 2. 排序问题：特殊优先 （1）排队问题：
⑵组合数公式：叶计
—或
m !
①对n个元素做不重复排序Ann;
八n
②对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定）排列負;
A
如果对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定,k个元素的
八n
位置固定）排列二^;
A A K
③相邻问题一捆绑法（注意松绑）;
④不相邻问题:（a）一方不相邻一先排没要求的元素，再把不相邻的元素插入空位；（b）互不相邻先排少的在插入多的；
⑵数字问题；
①各位相加为奇数的-----奇数的个数是奇数；
②各位相加为偶数的-----奇数的个数是偶数；
③组成n为偶数（奇数）的数----特殊优先法；
④能被n整除的数-----特殊优先法；
⑤比某数大的数，比某数小的数或某数的位置----从大于（小于）开始排，再排等于；
⑶着色问题:
①区域优先-----颜色就是分类点；
②颜色优先-----区域就是分类点.
⑷几何问题:①点、线、面的关系一般均为组合问题;
②图中有多少个矩形
到B
的最短距离C83
⑸分组、分配问题：
①非均分不编号；n个不同元素分成m组，每组元素数目均不
② 非均分编号;n 个不同元素分成 m 组，每组组元素数目均不 相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽
③ 均分不编号;n 个不同元素分成 m 组，其中有k 组元素数目均 相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽
④ 均分编号;n 个不同元素分成 m 组，其中有k 组元素数目均 相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽
m
1
m
2
m
3
(C n C n
C
n _m i 皿
二、二项式定理
1. 定理：（a + b ）n = QOanbO + Qian — 1b + Q2an — 2b2+…+ Cn an — rbr +…+ CBObn （r = 0,1,2，…，n ）.
2. 二项展开式的通项
Tr + 1 = Cnan — rbr , r = 0,1,2，…，n ,其中 Cn 叫做二项式 系数.
3. 二项式系数的性质
① 对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即 00= On, 6= Cn — 1,…，Ok = On — k ，…
② 最大值：当n 为偶数时，中间的一项的二项式系数 取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项C 勺二项式系数 C
「C ;2
相等，且同时取得最大值. ③ 各二项式系数的和
C0+ C1 + C2+…+ Ck +…+ 5= 2n ；
2n — 1.
f 二项式定理的应用:
相等，且不考虑各组间的顺序 不考虑是否分尽
m i C n
C
m 2 n _mi
m 3 n _m i 皿
m m 2 C n
C
m 3 n _m i 皿
C n
C
m 2 n _m i
叫
n _m ?
1. 求通项；T r i =C；a n」b r
2. 含xr的项：①项的系数；②二项式系数。
3. 常数项(含xr的项中r=0)整数项(含xr的项中r € N)有理项(含xr的项中r € Z)无理项(含xr的项中r - Z)
4. 项的系数和：
(1 ) 已知多项式f(x)=(a+bx) n(a,b>O)=aO +a1x+a2x2+…+anxn:
① a0 =f (0)
② a0 +a1+a2+ …+an = f(1)= (a+b )n;
③ |a0 |+|a1 |+|a2 |+ …+|an |= f(1)= (a+b) n;
④a0 +a2+a4+ •••=2;
⑤ al +a3+a5+ …二^ IO；
2
⑥ (a0 +a2+a4+ …)2-( al +a3+a5+ …)2=f(1)f (-1 )。
(2 ) 已知多项式f(x)=(a-bx) n(a,b>0)=a0 +a1x+a2x2+…+anxn:
① aO =f (0)
② a0 +a1+a2+ …+an = f(1)= (a-b) n;
③ |a0 |+|a1 |+|a2 |+ …+|an |= f(-1)= (a+b) n;
f(1) + f(-1);
④ a0 +a2+a4+ •••=2;
2
⑤ a1 +a3+a5+…=f(1^f^1);
2
⑥(aO +a2+a4+ …)2-( al +a3+a5+ …)2=f(1)f (-1 )。
(3) 已知多项式f(x)=(ax-b) n( a,b>O)=aO +a1x+a2x2+…+anxn:
令g(x)= (-1 ) n (b-ax)n
① aO =f (0)
② aO +a1+a2+ …+an = f(1)= (a-b) n;
③ |aO |+|a1 |+|a2 |+ …+|an |=|(-1) n|g(-1)
④ aO +a2+a4+ •••=2;
⑤ al +a3+a5+ …二也3；
2
⑥ (aO +a2+a4+ …)2-( al +a3+a5+ …)2=f(1)f (-1 )。
(4) 已知多项式f(x)=(-ax-b) n(a,b>O)=aO
+a1x+a2x2+…+anxn:
令g(x)= (-1 ) n(ax+b)n
① aO =f (O)
② aO +a1+a2+ …+an = f(1)= (a-b) n;
③ |aO |+|a1 |+|a2 |+ …+|an |=|(-1)n|g(1)
f(1) + f(-1)；
④ aO +a2+a4+ •••= 2 ；
⑤ a1 +a3+a5+ …二血4；
2
⑥ (aO +a2+a4+ …)2-( a1 +a3+a5+ …)2=f(1)f (-1 )。
5. 最值问题:
n
① 二项式系数最大：(a)当n为偶数时，二项式系数中，
n/ n 二
最大；(b)当n为奇数时，二项式系数中，c了和CF最大
②项的是系数最大：c T r丄表示第叶1项的系数
(a) 个项都为正数时|CT r^-C Tr^ C T+最大；
[CT r 异r +
(b) 一项为正一项为负时尺异CTr J Cj最大
g异5丄。