中山大学2009年数学分析真题
题目
一、（每小题6分，共48分） （1） 求lim x→∞
(x −x 2ln (1+1
x ));
（2）
求∫
1−lnx ln 2x
dx ;
（3） {
x =cos⁡(t 2)y =
∫sinu
u du t 20,求dy
dx
; （4） 求∫|x −a |e x dx 1
−1,|a |<1;
（5） 设z =uv +sint,u =e t ,v =cost,求dz
dt ;
（6） u =φ(x +ψ(y )), 其中φ,ψ二阶可微，x,y 为自变量，求d 2u ;
（7） 求级数∑cos n
x ∞n=1在收敛域上的和函数;
（8）
判断级数∑1n
1+1
n
∞n=1
的敛散性.
二、将区间[1，2]做n 等分。

分点为1=x 0<⋯<x n =2，求lim n→∞
√x 1x 2…x n n 。

三、计算I =∫(x+y )dx+(y−x)dy
x 2+y 2
L
,其中L 是从点A （-1，0）到点B （1，0）的一条不经过原点
的光滑曲线:y =f (x ),x =[−1,1],且当xϵ(−1,1)时,f(x)>0。

四、计算∬x 2dydz +y 2dzdx +z 2dxdy S ,其中S 为曲面x 2+y 2=z 2介于平面z =0和z =h(h >0)之间的部分取下侧。

五、设f (x)在(1,+∞)上连续，f ′′(x)≤0，f (1)=2，f ′(1)=−3，证明f (x)=0在(1,+∞)上有
且仅有一个实根。

六、设函数f (x)在（−∞,+∞）上连续，试证：对一切x 满足f (2x )=f(x)e x 的充要条件是
f (x )=f(0)e x 。

七、求椭球面x 2a 2+y 2b 2+z 2
c 2=1在第一卦限部分的切平面与三坐标平面围成的四面体的最小
体积。

八、讨论级数∑cos(π
2
lnn)
n
∞n=1
的敛散性。

参考答案
一、 （1） lim x→∞
(x −x 2ln (1+1x ))=lim x→∞
x 2[1x −ln (1+1x )]=1
2
lim
x→∞
x 2x 2
=1
2
.
（2）
∫
1−lnx ln 2x
dx =∫
1−y y 2
de y
=∫
e y (1−y)y 2
dy =∫e y (
y −1)d 1
y =
(y−1)e y
y
−∫
d (y−1)
e y
y
=
−e y y +C =−
x lnx
+C .
（3） dy dx =
dy dt dx dt
=
2t
sint 2
t 2
−2tsint 2=−1
t
2.
（4）
∫|x −a |e x dx 1
−1=∫(a −x)e x dx a −1+∫(x −a )e x dx =(a +1−x)e x |−1a 1
a +(x −a −
1)e x |a 1=2e a −(a +2)e
−1−ae . （5） z =uv +sint,u =e t ,v =cost ，故z =e t cost +sint,dz dt
=e t (cost −sint )+cost .
（6）
u =φ(x +ψ(y ))，φ,ψ二阶可微，故
du =φ′(x +ψ(y ))[dx +ψ′
(y)dy]
d 2u =dφ′(x +ψ(y ))[dx +ψ′(y )dy]+φ′(x +ψ(y ))d [dx +ψ′
(y )dy]
=φ′′(x +ψ(y ))[dx +ψ′(y )dy]2+φ′(x +ψ(y ))ψ′′
(y )(dy)2
（7） ∑cos n x ∞n=1=cosx 1−cosx ，其收敛域为{x ||cosx |<1}={x|x ≠kπ,kϵZ}。

（8）
1
n 1+1
n
~1
n
，∑1
n
∞n=1发散，故∑1n
1+1n
∞
n=1是发散的。

二、lim n→∞
√x 1x 2…x n n =lim n→∞1
n ∑lnx i n i=0=∫lnxdx 2
1
=(xlnx −x )|12
=2ln2−1， 故lim n→∞
√x 1x 2…x n n =4
e 。

三、令P (x,y )=
x+y x 2+y
2，Q (x,y )=
Y−X x 2+y
2，则P,Q 具有连续性的一阶偏导数，且
ðP ðy
=
ðQ ðx
=
x 2−2xy−y 2(x 2+y 2)2
，故在不含原点的区域内，积分与路径无关。

记L 1为从A （-1，0）到B （1，
0）的上半圆周，则
I =∫(x +y )dx +(y −x)dy x 2+y 2L =I =∫
(x +y )dx +(y −x)dy
x 2+y 2L 1
=∫(x +y )dx +(y −x)dy L 1
记BA
̅̅̅̅为B 到A 的直线段，D 为L 1和L 围成的半圆域，则
∫(x +y )dx +(y −x)dy BA
̅̅̅̅=∫xdx =0−1
1
由格林公式
∫(x +y )dx +(y −x)dy L 1
=(∫
−L 1∪BA
̅̅̅̅∫)(x +y )dx +(y −x)dy
BA
̅̅̅̅=−∬[ððx (y −x )−ððy (x +y )]dxdy =2∬dxdy D
D =2×π
2=π 四、∬x 2dydz +y 2dzdx +z 2dxdy S =−∬(−x 2z x −y 2z y +z 2)dxdy =x 2+y 2≤ℎ2
−∬(−x 22
−y 22+x 2+y 2)dxdy x 2+y 2≤ℎ2=∬322
x 2+y 2≤ℎ+
∬3
22x 2+y 2≤ℎ−∬(x 2+y 2)dxdy x 2+y 2≤ℎ2=0+0−1
2πℎ4=−1
2
πℎ4 五、f ′′(x)≤0，f ′(1)=−3，故f ′(x )≤f ′(1)=−3<0，故f(x)为严格单调递减函数。

f (x )=f (1)+f ′(δ)(x −1)<2−3(x −1)→−∞，x →+∞
又f (1)=2>0，故f (x)=0在(1,⁡+∞)上有且只有一个实根。

六、 充分性 假设f (x )=f(0)e x ，则f (2x )=f (0)e 2x =e x f(x) 必要性 f (2x )=e x f(x)，故f (2x )e −2x =f (x )e −x ，记g (x )=f (x )e −x ，则g (2x )=g(x) 由于f (x )是连续函数，故g(x)也是连续函数。

对任意x ，有：
g (x )=g (x 2)=g (x 4)=⋯=g (x
2
n )=⋯
故g (x )=lim n→∞
g (x
2
n )=g (0)=f (0)，故f (x )e −x =f(0)，即f (x )=f (0)e x 。

七、任取椭球面在第一卦限的一点(x 0,y 0,z 0)，则该点处的切平面方程为
x 0x a 2
+
y 0y b 2
+
z 0z c 2
=1，
其在三个坐标轴上的截距分别为a 2x 0
,b 2y 0
,c 2
z 0
，故其与三个坐标平面所围成的四面体的体积为
V =16a 2x 0b 2y 0c 2z 0
=
6√02a 20
2b 202c 2
≥6√(
x 02a 2
+
y 02b 2
+z 02c
23
)
3
=6√(13
)
3=
√3⁡
2
abc
当且仅当x 0
2a 2=y 02b 2=z 0
2
c 2=13，即x 0=
√
3
y 0=√
3
z 0=√3
，取得等号，故所求的最小体
积为√3
2abc 。

八、任取正整数N ，令正整数n 使得2Nπ<π
2lnn <(2N +1
4)π，即e
4N
<n <e
4N+
1
2
，于是，
∑cos (π2lnn)n [e 4N +1
2
]
k=[e 4N ]+1
>[e
4N+12]−[e 4N ]√2[e 4N+12
] lim
N→∞
[e
4N+
12]−
[e 4N ]
√2[e
4N+12
]
=√2
−
√2lim
[e 4N ]
√2[e 4N+1
2]
=
√2
√2lim
e 4N
e 4N+1
2
=
√2
√2
−1
2>0
故级数∑cos(π2
lnn)
n
∞n=1
是发散的。