针对问题一，本文采取平面化处理。由于浮标运动的方向与风的方向相同，所以只需 在平面上分析系统的受力。风速大小确定，方向任意，因此浮标的运动区域是以锚在海面 上的投影点为圆心，以浮标与锚的水平距离为半径的圆。本文运用力学知识建立模型，用 变步长搜索算法编写 MATLAB 程序进行求解。求得风速 v=12m/s 时吃水深度 s=0.735m； v=24m/s 时吃水深度 s=0.749m。进而其余参量均可求得。同时提出了悬链线模型，两个模 型的求解结果相差很小，从而提高了正确性。
(11)
对锚进行受力分析，如图 5 所示：
图 5 锚的受力分析图
图 5 中，N 为海床对锚的支持力，G 为锚的重力，A216 为最后一个链环对锚向上的拉 力。根据里的平衡条件，易得：
������ = ������ + ������216
(12)
5.1.4 问题一模型的建立与求解
联立(9) (10)两式，可得吃水深度 s 与 A1 的关系：
(1)
在竖直方向上，整个系统总质量为 M、浮力 fu、海床对系统的支持力 N，系统平衡， 竖直方向合力为零，有
������������ = ������ + ������������
(2)
5.1.2 锚链、钢管、钢桶受力分析
对图 1 中用虚线框起来的部分进行力学上的等效，将钢管、钢桶和链环等效为密度均匀 的细棒，每个细棒之间铰接，得到如图 2 所示的力学模型：
约束法，选择一个主要关注的参考目标，将其他目标函数约束放到约束条件中[1]，从而将其 转化为单目标规划，用 MATLAB 对目标函数进行搜索求解，列出符合约束条件的解。
关键词： 受力分析 悬链理论 变步长搜索 多目标规划
一、 问题重述
近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。某型传输节点 的浮标系统可简化为底面直径 2m、高 2m 的圆柱体，浮标的质量为 1000kg。系泊系统由钢 管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为 600kg，锚链选用无档普 通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共 4 节，每节长度 1m，直 径为 50mm，每节钢管的质量为 10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角 不超过 16 度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长 1m、外径 30cm 的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为 100kg。钢桶上接第 4 节钢管，下接电焊 锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。 钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过 5 度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶 的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。建立数学模型讨论以下问题：
五、模型建立与求解
5.1 问题一的模型建立与求解 5.1.1 系统总体受力分析
图 1 系统整体受力分析图
对系统整体进行受力分析,如图 5.1.1 所示。从水平方向和竖直方向分别分析，在水平
方向上，系统受风力 f 和海床对系统的摩擦力 f’。由于系统平衡，合力为 0，故有
������ ′ = ������
s
=
������1 + ������1������ ������������������������2
进而可得风力与 A1 的关系：
������
= 0.625 × 2������(ℎ − ������)������2
=
1.25������(ℎ
−
������1 + ������1������ ������������������������2
图 2 等效的力学模型
图 2 中，底部的黑色物块表示锚；θi i=1,2,3,4 表示每个细棒于水平面的夹角；F 表示 浮标对水下第一个钢管的拉力，与水平面的夹角为 θ。将 F 进行正交分解，得到竖直力 A
和水平力 B，根据三角形法则，有
{������������
= =
������ ������
sin ������ cos ������
=
(������������
+
������������+1)
������������ 2
sin ������������
(5)
联立(3) (4) (5)式，并根据浮力定律得：
tan ������������
=
������������
+ ������������+1 2������
(6)
������������+1 = ������������ − ������������������ + ������������
(3)
由于水平方向受力平衡，所以地面对物快的摩擦力等于 B。
下面以图 2 中两个细棒为例，从水平和竖直方向分别分析细棒之间的相互作用力，如
图 3 所示：
图 3 相邻两个细棒的受力分析图
li+1、 li 为细棒的长度，li+1 在下面，mi 为细棒的质量，fu 为海水的浮力，Ai Bi 分别为钢管 之间的竖直作用力和水平作用力。对细棒 li 进行受力分析，由水平竖直方向受力平衡可 得：
三、基本符号说明
符号 A B θ f N s fu g ρ h R r v V M F v’ li di H
说明 钢管之间竖直方向的力 钢管之间水平方向的力 钢管与水平方向的夹角
风力 海床对系统的支持力
浮标的吃水深度 浮力
重力加速度,大小为 9.8 海水密度
浮标的高度 浮标的游动半径 浮标的底面半径
2.2 问题二的分析 由于题目中表明，问题二在问题一的假设下，因此求解问题二可使用问题一的模型。计
算重物的质量时，可利用题目中的两个约束条件，采用变步长搜索的算法求解。
2.3 问题三的分析 本题中，风力方向和水力大小和方向不定。本文对实际情况进行合理简化。易知，如果
在风力和水力最大并且同向时满足题目要求，则其余情况必定满足要求。因此风力和水力可 简化为方向相同、大小一定的力。建立力学模型。用多目标规划进行求解
管、钢桶或链环的长度集合的元素 钢管和钢桶的直径集合的元素 海水深度
四、模型假设
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
锚链上的每一个链环可以等效为无粗细的均匀质量的坚硬细棒； 钢管的质量均匀分布； 悬挂重物球的细线的质量和体积忽略不计； 海水密度均匀分布； 假设物体形变量忽略不计，即杨氏模量为无穷大； 假设游标不会发生倾斜； 题目中未知体积的物体体积忽略不计 分析海水力时，海水的竖直分力忽略不计
{������������������������+=1
������������+1 = ������������
+
������������������
−
������������
(4)
由力矩平衡可得：
(������������
+
������������+1)
������������ 2
cos ������������
通过受力分析可知，钢桶、钢管的倾斜角度与各个部分的相互作用力有关，而每部分的 作用力的方向难以确定，故本文不考虑真实的作用力，只考虑作用力在竖直和水平方向上的
分力，大大简化了受力分析过程。若对锚链的每个链节进行受力分析，可得模型 1.1；若将 锚链看作连续的悬链线，可得模型 1.2。利用 MATLAB 软件，以深度 18m 作为条件进行求 解，最终得出最优解。
针对问题二，本文首先采用问题一的模型计算出 v=36m/s 时各个参数，求得浮标的游 动区域面积 S=1111.041m2。此时钢桶倾斜角度和锚点与海床的夹角分别为 8.07°和18.09°， 不满足题目要求，所以要调节重物球的质量。其次在题目的两个角度约束条件和浮标不能 沉底的条件下，仍通过变步长搜索算法进行搜索。求得满足题目要求的重物球的最小质量 为 1709kg，最大质量约为 5200kg。
问题 1 某型传输节点选用 II 型电焊锚链 22.05m，选用的重物球的质量为 1200kg。现 将该型传输节点布放在水深 18m、海床平坦、海水密度为 1.025×103kg/m3 的海域。若海水静 止，分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的 吃水深度和游动区域。
针对问题三，本文首先将其进行合理简化。钢桶倾斜角不超过5°，且 cos 5° = 0.996，因 此可以认为海水的作用力为水平方向。如果在风力水力同向且最大的时候满足条件，其余情 况必定满足条件，因此可以假设风速水速同向且最大。在此基础上进行受力分析，对问题一
的模型进行修改，得出问题三的模型。系泊系统的设计问题是多目标规划问题，本文运用ε
问题 2 在问题 1 的假设下，计算海面风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚 链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过 5 度，锚链在 锚点与海床的夹角不超过 16 度。
问题 3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于 16m~20m 之间。布放点的 海水速度最大可达到 1.5m/s、风速最大可达到 36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况 下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和 游动区域。
二、 问题分析
2.1 问题一的分析 本问中，浮标会在风力的作用下沿着风的方向进行运动，最终达到静止状态。因为系统
在水平方向上对称分布，所以，本文将三维的旋转移动问题转换为平面上的移动问题，即只 需分析系统在二维平面上的受力。
浮标的运动最终能达到平衡，因此，我们只需分析浮标达到稳态时的情况。风的大小可 算，而风的方向是任意的，因此浮标的运动距离一定，运动方向为任意方向，故浮标的运动 区域为一个圆，圆心为锚在海平面上的投影坐标，半径是浮标和锚的水平距离。