第3模块 第4节[知能演练]一、选择题1．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π， ∴ω＝2，排除A 、C. ∵图象过(π12，1)代入B 项，∴f (π12)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π6＝0≠1. 排除B ，选D. 答案：D2．为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6. 由题意知要得到y ＝sin(2x ＋5π6)的图象只需将y ＝sin2x 向左平移5π12个单位长度．答案：A3．设f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f (x )是偶函数的充要条件是( )A ．f (0)＝1B ．f (0)＝0C ．f ′(0)＝1D ．f ′(0)＝0解析：∵f (x )＝sin(ωx ＋φ)是偶函数， ∴sin(ωx ＋φ)＝sin(－ωx ＋φ)． ∴sin ωx cos φ＝0，∴cos φ＝0. ∴φ＝kπ＋π2(k ∈Z)，∴f (0)＝sin φ＝±1.又f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，∴f ′(0)＝ωcos φ＝0. 答案：D4．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6)等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：由f (π6＋x )＝f (π6－x )可知x ＝π6是f (x )的一条对称轴．又∵y ＝2sin(ωx ＋φ)在对称轴处取得最值，故选B.答案：B 二、填空题5．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝________.解析：如下图所示，∵f (x )＝sin(ωx ＋π3)，且f (π6)＝f (π3)，又f (x )在区间(π6，π3)内只有最小值、无最大值，∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最小值．∴π4ω＋π3＝2kπ－π2(k ∈Z)． ∴ω＝8k －103(k ∈Z)．∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间(π6，π3)内已存在最大值．故ω＝143.答案：1436．函数y ＝|sin x |cos x －1的最小正周期与最大值的和为________． 解析：y ＝|sin x |cos x －1＝⎩⎨⎧12sin2x －1， 2kπ≤x ≤(2k ＋1)π，k ∈Z ，－12sin2x －1， (2k ＋1)π<x ≤(2k ＋2)π，k ∈Z.其图象如下图所示：函数最小正周期T ＝2π，最大值y max ＝－12，故最小正周期与最大值之和为2π－12.答案：2π－12三、解答题7．已知函数f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)·sin(x ＋π4)．(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域． 解：(1)∵f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4)＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin(2x －π6)． ∴周期T ＝2π2＝π.由2x －π6＝kπ＋π2(k ∈Z)，得x ＝kπ2＋π3(k ∈Z)．∴函数图象的对称轴方程为x ＝kπ2＋π3(k ∈Z)．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6. ∵f (x )＝sin(2x －π6)在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减， ∴当x ＝π3时，f (x )取得最大值1，又∵f (－π12)＝－32<f (π2)＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取得最小值－32.∴函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1. 8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)＋sin(ωx －π6)－2cos 2ωx2，x ∈R(其中ω>0)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若对任意的a ∈R ，函数y ＝f (x )，x ∈(a ，a ＋π]的图象与直线y ＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调增区间．解：(1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1. 由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6≤1，得－3≤2sin(ωx －π6)－1≤1.可知函数f (x )的值域为[－3,1]． (2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y ＝f (x )的周期为π，又由ω>0，得2πω＝π，即得ω＝2.于是有f (x )＝2sin(2x －π6)－1，再由2kπ－π2≤2x －π6≤2kπ＋π2(k ∈Z)，解得kπ－π6≤x ≤kπ＋π3(k ∈Z)．所以y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－π6，kπ＋π3(k ∈Z)． [高考·模拟·预测]1．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )解析：当a ＝0时，f (x )＝1，图象即为C ；当0<a <1时，三角函数的最大值为1＋a <2，图象即为A ；当a >1时，三角函数的周期为T ＝2πa<2π，图象即为B.故选D.答案：D2．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[kπ－π12，kπ＋5π12]，k ∈ZB ．[kπ＋5π12，kπ＋11π12]，k ∈ZC ．[kπ－π3，kπ＋π6]，k ∈ZD ．[kπ＋π6，kπ＋2π3]，k ∈Z解析：∵y ＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，且由函数y ＝f (x )与直线y ＝2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y ＝f (x )的周期T ＝π，∴T ＝2πω＝π，解得ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．令2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z)，得kπ－π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z)，故选C.答案：C3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( )A.π2B.3π8C.π4D.π8解析：由最小正周期为π得ω＝2，于是f (x )＝sin(2x ＋π4)，其图象向左平移|φ|个单位长度后所对应的函数的解析式为y ＝sin(2x ＋π4＋2|φ|)，由于该函数的图象关于y 轴对称，所以它是偶函数，所以π4＋2|φ|＝kπ＋π2，k ∈Z ，所以|φ|＝kπ2＋π8，k ∈Z ，故选D.答案：D4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如下图所示，则ω＝________.解析：观察函数图象可得周期T ＝2π3，又由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)得T ＝2πω，则T ＝2π3＝2πω，所以ω＝3.答案：35．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如下图所示．(1)求函数f (x )的解析式．(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． 解：(1)由图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×(5π12－π6)＝π，故ω＝2πT ＝2.将点(π6，2)代入f (x )的解析式得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)变换过程如下：[备选精题]6．如右图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(Ⅰ)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离； (Ⅱ)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？ 解：(Ⅰ)依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin2π3＝3，∴M (4,3)， 又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5.(Ⅱ)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5. 设∠PMN ＝θ，则0°<θ<60°.由正弦定理得MP sin120°＝NP sin θ＝MN sin(60°－θ).∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)．故NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ)＝1033(12sin θ＋32cos θ)＝1033sin(θ＋60°)．∵0°<θ<60°，∴60°<θ＋60°<120°， ∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．亦即，将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长．。