空间的位置及方向，(S ; S0)称为直线的 Plücker 坐标。
直线的Plücker坐标
直线的 Plü cker坐标(S ; S0)中的两个矢量S 和S0 都可以 用直角坐标系的三个分量表示，这样Plü cker坐标的标量形式 即为 (L, M, N ; P, Q, R )，L、M、N是有向线段S的方向数，P、
线矢量和螺旋
线矢量在几何上反映了一直线在空间的方向和位置。 矢量 S 表示直线的方向，它与原点的位置无关；而线 矩S0 则与原点的位置有关。若原点的位置改变，由B点 移至A点，而矢量 S 对点 A之线矩 SA则转变为
S0A rA S
rB AB S rB S AB S S0B AB S
且 lp m q nr 0
直线的Plücker坐标
直线到原点的距离
若有过原点的矢量P垂直相交于直线(S ; S0)，则矢量OP的 模|P|是从原点O到直线的距离，由于矢量P的端点在直线上 ，即有
P S S0
将此等式两边左面叉乘S
S ( P S ) S S0
展开左边矢量的三重叉积，有
h S S0
线矢量和螺旋
线矢量在空间对应一条确定的直线；同样，一个旋量，
( S; S 0 )
S S0 0
在空间也对应有一条确定的轴线
将S0 分解为垂直和平行于 S 的两个 分量， hS 和 S0 -hS
( S; S 0 ) ( S; S 0 hS hS )
线矢量和螺旋
两直线的互矩
设空间有相错的两条直线，它们 不平行也不相交
r1 S1 S01 r2 S2 S02
a12 a12 1 若它们的公垂线矢量为 a12 a12 ，其中 a12 为单位矢量， 而其系数 a12 是两线间的垂直距离，两线之间的扭向角记为 12 A、B两点是两直线间公垂线的两个垂足
线矢量和螺旋
在螺旋的两矢量中，S与原点的选择无关，而矢量S0 却 是与原点的位置有关。 0 0 S ; S S ; S 当将原点由 B 移至 A 时，螺旋 A 变为 A ， 依然满足
0 0 SA SB AB S
0 0 S SA S SB AB S 0 S SB S AB S 0 S SB
YSU
《高等机构学》
燕山大学机械工程学院
本门课程的主要学习内容
螺旋理论基础
基于螺旋理论的自由度分析原理
空间机构的位置分析
运动影响系数原理
空间机构动力学
基于约束螺旋理论的并联机构型综合 空间机构的奇异分析
螺旋理论基础
空间直线的螺旋表示
螺旋表示运动和作用力 S2 S1 M m a12 sin 12
两直线的互矩
由互矩表达式 M m a12 sin 12 可以看出： 互矩只与两直线间的距离及扭向角有关，与原点位置的选 择无关，即互距与坐标系的选择无关。 12 0 如果两直线平行，或者说两直线相交于无穷远处， 则它们的互矩为零。 如果两直线相交，其垂直距离 a12 就等于零，它们的互矩 也为零 所以空间两直线相交于有限远处、无限远处，或说两直线 共面，则两直线的互矩为零。 S1 S02 S2 S01 0
0 虽然 S0 与原点位置有关，但 S S 与原点的位置无关， 是原点不变量。
将上式两边点乘 S，得到
线矢量和螺旋
螺旋的节距pitch（原点不变量）
S S 0 lp mq nr h 2 S S l m2 n2
如果某旋量的原级矢量S为单位矢量，S S 1 ，这是单 位旋量，此时
影响螺旋的四个因素： （1）螺旋轴线的位置 （2）螺旋的节距 （3）螺旋的方向 （4）螺旋的大小 如果是单位螺旋，则只包含前三个因素
线矢量和螺旋
对于螺旋 (S ; r S hS ) ，当节距 h 变化时 若 h=0 ，螺旋变为 (S ; r S ) 若 h=∞， (S; r S hS )=( 螺旋 ( S ; S 0 ) 线矢量 ( S ; S0 ) 偶量 (0; S ) 零螺旋
P S0 S
直线到原点的距离
可知：
当S0=0，则 P 0 ，直线到原点的距离为零，即 直线过原点，此时直线的 Plü cker 坐标可写为
( S ;0)
或
l
m n; 0 0 0
反之，若S =0，而 S0 为有限值，则 P ，此时 直线位于距原点无穷远的平面上，写成Plü cker 坐 标为(0 ; S0)。 此时对于任何选择的原点，无穷远处的一个无穷 小的矢量，它对原点的线矩皆为 S0。S0与原点位 置选择无关，这说明(0 ; S0)为自由矢量。
两直线的互矩
当S1和S2都是单位矢量时 S1 S1 S2 S2 1 则
S2 S1 a12 sin 12
其中S1与S2间的扭向角 12 的值是以 a12 为正向，按右手螺旋 方向度量 互矩Mm还可写为 M m a12 a12 S2 S1
a12 a12 (a12 sin 12 ) a12 sin 12
螺旋的相逆性
直线的矢量方程
两个点： r1 ( x1
y1
z1 ); r2 ( x2
y2
z2 )
S ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j ( z1 z2 ) k Li Mj Nk
两点之间的距离或直线段的长度为
S L2 M 2 N 2
直线的矢量方程
S rS ; S )=(0; S) h h
S 0 ，S S 0 0 ， h0
S 0 ，S S0 =0 ， h=0
S 0 ，h =
S =0 ， S 0 =0 ， h 不定
线矢量和螺旋
$ ( S; S 0 ) l m n; a l a m a n 表示什么样 例： 的螺旋？
螺旋方向
螺旋大小 螺旋节距
S l m n
S l 2 m2 n2
S S 0 a l 2 a m2 a n2 h a 2 2 2 SS l m n
r S S 0 hS 0
螺旋轴线
表示节距为 a，轴线过原点的螺旋
线矢量和螺旋
0 例：$ ( S; S ) 1 0 0; 1 0 0 表示什么样的螺旋？
mM S ， nN S 假设： l L S ，
L、M、N是有向线段S的方向数，而l、m、n是S的方向余弦， 且满足 l 2 m 2 n 2 1 则直线方程可写为： (r r1 ) S 0 或
r S S0
S0 称为矢量 S 对原点的线矩 S0 r1 S
直线的矢量方程
两直线的互矩
若两直线的S及S0均以标量表示
S1 ( L1 , M 1 , N1 ) , S01 ( P 1 , Q1 , R1 ) S 2 ( L2 , M 2 , N 2 ) , S02 ( P2 , Q2 , R2 )
互矩还可以写成代数式
M m S1 S02 S2 S01 L1 P2 M 1Q2 N1 R2 P 1 L2 Q1 M 2 R1 N 2
S0 r1 S 可写为行列式的形式
i S 0 x1 L j y1 M k z1 N
展开，有
S0 Pi Qj Rk
P y1 N z1 M
其中P、Q、R为
Q z1 L x1 N
R x1M y1 L
直线的矢量方程
可知：
① 若S是单位矢量, S S 1 ，则线矩S0的模表示直线 到原点的距离；
两直线的互矩
两直线的互矩(mutual moment)，记以Mm
Mm a12a12 S2 S1
展开此式并考虑到 a12 a12 r2 r1 得到互矩的一般表达式为
Mm S1 S02 S2 S01
可以看出：两直线的互矩是由两直线Plü cker 坐标的两个矢 量和两线矩交换下标后的点积之和
空间的方向和位置（对偶矢量） 空间的一条直线与一组对偶矢量 (S ; S0)有着一一对应的关系
l l
l
m n; 0 0 0 0 0; 0 a b
m n; p q r
为过原点的直线，方向为 (l m n)
为一条不过原点平行 X 轴的空间直线 这是一条不过原点，方向为 (l m n) 的直线
其中 S0 –hS 是垂直于S的，这是因为
0 S S S ( S 0 hS ) S S 0 SS 0 SS
由此 S 0 hS S0
因此螺旋的轴线方程即是
r S S 0 hS
线矢量和螺旋
螺旋可以写为
(S ; S 0 ) (S ; S 0 hS hS ) (S ; r S hS )
线矢量和螺旋
在前面建立的空间直线矢量方程的基础上，进一步引申
线矢量：如果空间一个单位矢量被约束在一 条方向、位置固定的直线上，这个 被直线约束的矢量定义为线矢量， 简称线矢，也记以 (S ; S0) 。
在表示线矢量的对偶矢量(S ; S0)中 S 是单位矢量，而 S0一 般不是单位矢量 这个线矢量在空间的位置和方向，可由矢量 S 和其上一点 矢径 r 来决定。这里矢径 r 反映在“线矩” S0中，即 S0 r S ，显然 S 与 S0为正交， S S0 0
线矢量和螺旋
当对偶矢量(S ; S0)中的两个矢量不满足矢量的正交条件， 则可以得到更一般的情况 螺旋：原部矢量和对偶部矢量点积不为零的对偶矢量 在 数学上定义为螺旋，（也称旋量）。记为 $
$ S; S 0 , S S 0 0