36微积分运算 第二章 本章将通过例子系统地介绍Maple 软件中的微积分运算，读者可以学到利用Maple 软件解决简单的高等数学问题的一些方法和技巧。

本章具体包括以下内容：如何在Maple 中计算函数的极限如何在Maple 中检验函数的连续性如何在Maple 中表示微分运算如何在Maple 中进行函数和表达式的微分运算如何在Maple 中对隐函数进行微分和求导运算如何在Maple 中进行符号积分运算如何在Maple 中计算广义积分如何在Maple 中计算数值积分如何在Maple 中表示和计算数列如何在Maple 中求数列的极限如何在Maple 中将已知函数展开成级数。

37．Maple 的应用，可以说大多数是用在高等数学的计算上了，微积分运算，也许是Maple 最为拿手的计算了。

任何解析函数，Maple 都可以求出它的导数来；任何理论上可以计算的的积分，Maple 也都可以不费吹灰之力地将它计算出来。

有了Maple ，你完全可以把积分手册扔到一边去，因为你在也忍受不了它了。

不仅如此，Maple 从来不会抱怨表达式太繁，或者太长的。

可以毫不夸张地说，高等数学书上的任何一道计算题，都可以用Maple 解决。

不信？那好，就跟着我用Maple 重新温习一遍微积分吧，你一定会有新的发现的！2.1 极限和连续性2.1.1 函数或表达式的极限在Maple 中，我们可以利用函数limit 表示和计算函数和表达式的极限。

读者一定还记得，我们用一对单引号表示暂时不作计算的表达式；上面，我们就利用它在Maple 中写出了一个漂亮的极限式。

而后面再次引用它时，Maple 就进行计算，得到了我们所期望的结果。

实际上，对于这些常用的“漂亮”计算符号（又比如求导、积分等运算），Maple 中都有一套函数与其一一对应。

对应的规则是，把原有函数的首字母改成大写，于是就得到“形式函数”，得到的是一个形式上的表达式。

比如上面这个例子，我们就可以写成：顺理成章地，这个函数也可用来求自变量趋于无穷时的极限。

无穷，在Maple 中用infinity 表示。

我们来看下面这个经典的极限：为了使大多数计算能够进行下去，函数limit 假设表达式中所有未被赋值的参数都是非0实数。

比如在a 未被赋值时，a 2/x 在x 趋向于0时的极限将被认为是正无穷大。

函数的第二个参数表示欲求的极限所在的位置，它是一个等式，等式的左边是自变量，右边是极限点，极限点可以是任意的实数。

基于Maple 的强大符号运算功能，表达式中间完。

38．全可以包含未知参数，绝大多数理论上存在的极限都可以求出来。

该函数不仅可以用来求变量函数的极限，还可以用来求多重极限。

这时，函数的第二个参数是一个等式的集合（用一对大括弧“{}”括起来）。

例如：limit 函数的第三个参数是可选参数，利用它可以求单侧极限和复数域极限。

在默认情况下，函数求得的是实数域中的双侧极限（除了无穷大处的极限是单侧的外）。

如果指定第三个参数为complex ，则函数limit 在复数域中求极限。

在实数域中，我们可以指定left 或right ，以求得单侧极限。

例如：2.1.2 函数的连续性在Maple 中，你可以用库函数iscont( )来检验一个函数或者表达式的连续性。

由于它是库函数，使用前我们先要用命令readlib 调入。

请看下面的例子：其中第二个参数指定了有待检验的区间，它必须由两个实的常数（或无穷大）界定。

默认情况下它指的是一个开区间，在指定了第三个（可选）参数为'closed'后，它将检查该闭区间。

如果无法判断表达式在该区间上的连续性，函数将返回系统符号常量FAIL ，表示计算失败。

相应的，Maple 中还有另一个库函数discont( )，可以用来找出表达式或函数的间断点。

这个函数可以找出所有可能的实间断点，依据Maple 的算法，它找到的并不一定都是间断点，但一般情况下，也就是函数比较好的情况下，找到的都是真正的间断点。

我们会经常遇到间断点周期出现或成对出现的情况，这时，Maple 会利用一些辅助变量予以表达，比如_Zn~、。

39．_NNn~、和_Bn~，其中n 是序号，_Zn~表示任意整数，_NNn~表示任意自然数，而_Bn~则表示一个二进制数（即可以取0或者1）。

利用函数fdiscont( )，我们可以求得数值上的间断点，和其他浮点运算一样，浮点精度由系统变量Digits 决定。

2.2 Maple 中的求导和微分运算2.2.1 符号表达式求导利用Maple中的求导函数diff( )，你可以计算一个表达式的导数或者偏导数；而利用形式求导函数Diff( )，你可以获得求导表达式。

利用符号$可以简单地表示多重导数，diff(expr, x$3)和diff(expr, x, x, x)是等价的，它们都表示expr对x 的3阶导数。

由于Maple是一个符号计算软件，而且在不加特别约束的情况下，带参数的导数实质上就是偏导数，所以用diff( )计算偏导数和计算单变量函数的导数在形式上没有任何不同：。

40．函数diff( )求得的结果总是一个表达式，如果你需要得到一个函数形式的结果，也就是要求导函数，你可以用D 运算符。

D 运算符作用于一个函数上，得到的结果也是一个函数。

我们在这里先用箭头运算符“->”定义一个简单的函数，箭头运算符的左边是函数的自变量，右边是函数表达式。

有关函数的定义和箭头运算符的详细情况，我们在后面相应章节会加以详细介绍。

D 运算符也可以被用作求多重导数，不过这里不是用“$”而是用两个连续的“@@”。

D 运算符并不局限于单变量函数，一个带指标的D 运算符D[i](f)可以用来求偏导函数。

D[i](f)表示函数f 对第i 个变量的导函数，而多重导数D[i, j](f)等价于D[i]( D[j](f) )。

由于diff 和D 这两种运算本质上是一样的，所不同的仅仅是表达形式而已，它们之间也可以用convert 相互转换。

41．2.2.2 隐函数的导数很多情况下，函数并不能写成显式的解析表达式，而只能通过自变量和函数的方程给出他们之间的关系；有时虽然可以写出显式表达式，但形式上要麻烦的多，所以在高等数学中，我们有直接对隐函数的求导方法。

在Maple 中也有这样的函数——implicitdiff( )。

第一个参数是蕴含着函数关系的方程，它也可以是一个方程组（用一对花括弧扩起来的等式的集合）。

第二个参数是函数（应变量），第三个参数是求导的变量，它们也都可以是变量的集合。

和diff 中一样，这个函数也可以用来求高阶导数，这时需要提供多个求导变量作为参数，形式和diff 中也一样。

有时隐函数表达式中含有一些字母表示的参数，它们并不是函数地自变量，为了将它们和自变量分开，我们可以人为地加入第二个参数——函数及其自变量的显式形式，比如y(x 1, ..., x n )，这样就确定了函数和它的自变量，而方程中其他未知变量就会被认为是常数了。

需要注意的是，如果给出函数，必须给出原方程组适定的函数，也就是说从原方程组中可以解出这些函数来。

比如下面的例2.1中，必须给出{z(x, y), psi(x, y), phi(x, y)}，若只给出z(x, y)是不够的。

方程中的变量，除了自变量和函数，其他的都会被看成常数。

如果是对多变量函数求多个偏导数，结果将用偏微分形式给出。

我们可以给定最后一个可选参数，来确定结果的表达形式。

默认情况下，或者我们给定notation = D ，这时结果中的微分用D 运算符表示；否则，我们可以给定notation = Diff ，这样给出的结果中的微分运算符和使用Diff( )时的相同，也就是用“∂”来表示。

请看下面的例子：例2.1 设⎪⎩⎪⎨⎧===ϕψϕψϕsin sin cos cos cos z y x ，求22x z ∂∂。

例2.2 设函数u = u(x)由方程组0),,(,0),,(),,,(===z y x h z y x g z y x f u。

42．定义。

求dxdu2.3 积分运算2.3.1 不定积分Maple 具有众多的内建积分算法。

首先，和我们在大学数学课上学的一样，它会试着使用一些常用方法，比如查表、分部积分、变量代换等等；在这些方法统统失败之后，系统会尝试其他一些特殊方法，比如所谓的Risch 算法等。

让我们先来看一个用Maple 中的函数int()求不定积分的简单例子函数的第一个参数是被积表达式，第二个是积分变量：我们可以注意到，和我们在数学课上的要求不同，Maple 求出的不定积分没有积分常数。

这是有一定用处的，尤其当我们还有对结果作进一步处理时，由于Maple 的符号计算特性，引入积分常数相当于引入了一个变量，对于计算会带来不便。

但这毕竟和我们通常意义上的不定积分有着一定的距离，它把一族函数变成了一个函数，使用是需要引起注意。

好在一般情况下，这对于我们的要求没有多大的影响。

在上面的例子中，我们还用了和求导运算中一样的伎俩，用形式函数Int( )获得了一个漂亮的积分表达式。

在高等数学课上，我们学习过分式的积分方法，即把分式分解成最简真分式的和，再分别求积分。

但是这种方法在处理一部分有理函数的时候难免会出现危机，比如在分母不能简单的进行因式分解的时候。

下面，我们简单描述一下Maple 中不定积分的计算过程：。

43．✧ 在第一阶段中，Maple 用传统方法处理一些特殊的形式，有如多项式、有理式、形如()n cx bx a 2++和()ncx bx a x Q 2)(++的根式，以及形如 (x 的多项式) ⨯ ln x 或 (x 的有理式) ⨯ ln(x 的有理式) 的表达式。

✧ 如果传统方法难以奏效，Maple 将应用Risch-Norman 算法，以避免在包含三角函数和双曲函数的积分中引入复指数和对数。

✧ 如果仍然无法得到答案，Maple 将采用Risch 算法。

这将无法避免地在结果表达式中引入有关积分变量的RootOf 的表达式。

✧ 如果最终还是没有找到解析表达式，Maple 会把积分式作为结果返回。

由于本书的目的在于介绍Maple 软件的使用，对于算法将不予详细描述。

如果读者对于上面提到的两种算法感兴趣，可以参考下列相关文献：K.O. Geddes and L.Y. Stefanus, On the Risch-Norman integration method and itsimplementation in Maple, In: G.H. Gonnet (ed.), Proceedings of ISSAC ’89, ACM Press, New York, 1989, pp. 212-217.R.H. Risch, The problem of integration in finite terms, Trans. AMS 139 (1969),167-189.M. Bronstein, Integration of Elementary Functions, J. Symbolic Computation 9 (1990), 117-174. 2.3.2 定积分在Maple 中，计算定积分也一样是用函数int ，或者它的别称integrate ；同样，它的形式函数Int 也可以用来表示定积分。