攀枝花市第十五中学校高2020届高三第7次周考数学(理)试题命题人:谢春天 审题人:孙文昌 时间:120分钟 满分:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.设集合{|12}M x x =-≤<,2{|log 0}N x x =>,则MN =( )A.[1,)-+∞B.(1,)+∞C.(1,2)-D.(0,2)2.已知iiZ +=12(i 为虚数单位),则Z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3.若函数()2232log mxmx y -+=的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 ( ) A.()0,3 B.[)0,3C.(]0,3D.[]0,34.已知3cos 2θ=,则44sin cos θθ-的值为( ) A.23 B.23-3 D.35.下列选项中,说法正确的是( )A.命题“0x R ∃∈,2000x x -≤”的否定为“x R ∃∈,20x x ->”B.命题“在ABC ∆中,30A >,则1sin 2A >”的逆否命题为真命题 C.若非零向量a 、b 满足a b a b +=-,则a 与b 共线D.设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件6.执行如图所示的程序框图,若输出的86s =,则判断框内的正整数的值为( )A.7B.6,7C.6,7,8D.8,97.向量,a b 满足23a b a +=,且()0a b a -⋅=,则,a b 的夹角的余弦值为( )A.0B.13 C.12D.328.函数21()log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为 ( )A.()1,0-B.()1,2C.()2,1D.()2,39.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π,且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图象,则函数()f x 的图象( ) A.关于直线12x π=对称 B.关于直线512x π=对称C.关于点(,0)12π对称D.关于点5(,0)12π对称10.已知{}n a 为等比数列,n S 是它的前n 项和,若2312a a a =,且4a 与72a 的等差中项为54,则4S =( ) A.29 B.30 C.31 D.3311.与直线2x －6y ＋1＝0垂直,且与曲线f (x )＝x 3＋3x 2－1相切的直线方程是( )A.3x ＋y ＋2＝0B.3x ＋y －2＝0C.x ＋3y ＋2＝0D.x －3y －2＝012.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数,且当0x >时,()()0f x x f x '+⋅>(其中()f x '是()f x 的导函数)恒成立.若2211ln ln a f e e ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,b f =,lg5(lg5)c f =⋅,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a b c >>B.c a b >>C.c b a >>D.a c b >>二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,把答案填在答题卷相应的横线上.13.计算: (2032812log 32lg1002718⎛⎫--+⨯⨯= ⎪⎝⎭； 14.如图,平行四边形ABCD 中,E 是边上一点,G 为A C 与D E 的交点,且3A G G C =,若AB =a ,A D =b ,则用,a b 表示BG = .15.已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数,且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2,则g (－1)＝________.16.下面有五个命题:①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2,k ∈Z }.③在同一坐标系中,函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点.④把函数y＝3sin(2x＋π3)的图像向右平移π6得到y＝3sin2x的图像.⑤函数y＝sin(x－π2)在[0,π]上是减函数.其中,真命题的编号是________.(写出所有真命题的编号)三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a2＝b2＋c2＋3bc.(1)求A；(2)设a＝3,S为△ABC的面积,求S＋3cos B cos C的最大值,并指出此时B的值.18.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n.,且.(Ⅰ)求{a n}通项公式；(Ⅱ)设,求数列{b n}前n项的和T n.19.(12分)如图1,在等腰梯形PDCB中,PB∥DC,PB=3,DC=1,∠DPB=45°,DA⊥PB于点A,将△P AD沿AD折起,构成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD,点M的棱PB上,且PM=MB.(1)求证:PD∥平面MAC；(2)若平面P AD⊥平面ABCD,求二面角M﹣AC﹣B的余弦值.20.(12分)已知椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0),离心率为22.直线y＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ,N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时,求k 的值.21.(12分)已知m R ∈,函数1()ln m f x mx x x -=--,1()ln g x x x=+. (1)求()g x 的极小值；(2)若()()y f x g x =-在[1,)+∞上为单调增函数,求m 的取值范围； (3)设2()eh x x=,若在[1,]e (e 是自然对数的底数)上至少存在一个0x ,使得000()()()f x g x h x ->成立,求m 的取值范围.请考生在下列题中任选一题作答；[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]22.(10分)已知直线l 的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=12,其左焦点F 在直线l 上. (1)若直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,求|F A |•|FB |的值； (2)求椭圆C 的内接矩形周长的最大值.[选修4-5:不等式选讲]23.(10分)已知∃x0∈R使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立.(1)求满足条件的实数t的集合T；(2)若m＞1,n＞1,对∀t∈T,不等式log3m•log3n≥t恒成立,求mn的最小值.攀枝花市第十五中学校高2020届高三第7次周考数学(理)答案一、选择题:ADBDC,BBBCC AA二.填空题:13.0； 14.1344a b-+ 15.-1； 16.①④三.解答题:17.解(1)由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝－3bc2bc＝－32.又因为0<A<π,所以A＝5π6.(2)由(1)得sin A＝1 2 ,又由正弦定理及a＝3得S＝12ab sin C＝12·a sin Bsin A·a sin C＝3sin B sin C,因此,S＋3cos B cos C＝3(sin B sin C＋cos B cos C)＝3cos(B－C).所以,当B＝C,即B＝π－A2＝π12时,S＋3cos B cos C取最大值3.18.解:(Ⅰ)∵∴n=1时,a1=﹣1；n≥2时,所以a n=2n﹣3(Ⅱ)由(Ⅰ)知…①…②①﹣②得:=T n=19.证明:(1)连结BD,交AC于N,连结MN,依题意知AB∥CD,∴△ABN～△CDN,∴,∵PM=MB,∴,∴在△BPD中,MN∥PD,又∵PD⊄平面MAC,MN⊂平面MAC, ∴PD∥平面MAC.解:(2)∵平面P AD⊥平面ABCD,平面P AD∩平面ABCD=AD,P A⊥AD,P A⊂平面P AD,∴P A⊥平面P AD,又AD⊥AB,从而P A,AD,AB两两垂直, 以A为原点,分别以AD,AB,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,依题意AP=AD=1,AB=2,又PM=MB,∴A(0,0,0),B(0,2,0),P(0,0,1),M(0,,),C(1,1,0),∴=(0,0,1),=(0,),=(1,1,0),∵P A⊥平面ABCD,∴=(0,0,1)是平面BAC的一个法向量,设=(x,y,z)是平面MAC的一个法向量,则,取x =1,得=(1,﹣1,1),设二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为θ,则cos θ==,∴二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值为.20.(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ,N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1＝k (x 1－1),y 2＝k (x 2－1),x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2,x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2, 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103,化简得7k 4－2k 2－5＝0,解得k ＝±1.21.(1)由题意,0x >,'22111()+x g x x x x-=-=,所以01x <<时,'()0g x <；当1x >时,'()0g x >.所以()g x 在(0,1)上是减函数,在(1,)+∞上是增函数,故()(1)1g x g ==极小值.(2)因为()()2ln m f x g x mx x x-=--,所以2'22[()()]mx x m f x g x x -+-=,由于()()f x g x -在[1,)+∞内为单调递增函数, 所以220mx x m -+≥在[1,)+∞上恒成立,即221xm x ≥+在[1,)+∞上恒成立, 故max22()11xm x≥=+,所以m 的取值范围是[1,)+∞. (3)构造函数2()()()()2ln m eF x f x g x h x mx x x x=--=---,当0m ≤时,由[1,]x e ∈得0m mx x -≤,22ln 0ex x--<,所以在[1,]e 上不存在一个0x ,使得000()()()f x g x h x ->.当0m >时,2'2222222()m e mx x m eF x m x x x x-++=+-+=. 因为[1,]x e ∈,所以220e x -≥,20mx m +>,所以'()0F x >在[1,)+∞上恒成立, 故()F x 在[1,]e 上单调递增,max ()()4mF x F e me e==--, 所以要在[1,]e 上存在一个0x ,使得()0F x >,必须且只需40mme e-->, 解得241e m e >-,故m 的取值范围是24(,)1ee +∞-.另外:(3)当1x =时,(1)(1)(1)fgh -<,当(1,]x e ∈时,由()()()f x g x h x ->,得222ln 1e x xm x +>-. 令222ln ()1e x x G x x +=-,则22'22(22)ln (242)()0(1)x x x ex G x x --+--=<-, 所以()G x 在(1,]e 上递减,min 24()()1eG x G e e ==-. 综上,要在[1,]e 上存在一个0x ,使得000()()()f x g x h x ->,必须且只需241em e >-. 22.解:(1)由椭圆C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=12, 可得x 2+3y 2=12,即.其左焦点为(-2,0).直线l 消去参数t 可得:x ﹣y =m ,∵左焦点F 在直线l 上, ∴直线l 方程为:x ﹣y =2.联立,解得A(,),B(,)那么|F A|•|FB|=.(2)设椭圆在第一象限上一点P(a cosθ,b sinθ),内接矩形周长为:L=4(a cosθ+b sinθ)=4sin(θ+φ),最大值为4=4c.由(1)可得c=,∴椭圆C的内接矩形周长的最大值为.23.解:(1)∵∃x0∈R使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立,∴|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值大于或等于t, ∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≤|x﹣1﹣(x﹣2)|=1,当且仅当1≤x≤2时,取等号,故|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值为1,∴t≤1,故T={t|t≤1}.(2)∵m＞1,n＞1,对∀t∈T,不等式log3m•log3n≥t恒成立,∴log3m•log3n≥1.又log3m+log3n=log3m•n≥2≥2=log39,∴mn≥9,故mn的最小值为9.。