29
第二节 平面汇交力系和平面力偶系
3. 平面力偶系的简化与平衡
力偶系：作用在物体上的若干个力偶
简化
力偶系
合成
合力偶
合力偶的力偶矩 = 力偶系中各力偶的力偶矩的代数和
M M1 M2 Mn M
平面力偶系的平衡条件： 所有力偶的力偶矩的代数和等于零
M M1 M2 Mn 0
解： 取球为研究对象
画出球的简图
画主动力
W
画约束反力
FRA
FRB
10
第一节 静力学基本概念及原理
例3-2 水平匀质梁AB重为P1，电动机重为P2，不计杆CD的自 重，试画出杆CD和梁AB的受力图。 解： CD杆为二力杆，其受力图
如图(b)所示 则AB梁受力图如图(c)所示
11
第一节 静力学基本概念及原理
i 1
i 1
i 1
i 1
n
n
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy
i 1
i 1
合力在某轴上的投影 = 力系中各力在该轴上投影的代数
和，合力的大小及方向余弦分别为：
FR FRx2 FRy2
cos FRx
Fx
FR
FRx 2 FRy 2
二力构件 二力杆
3
第一节 静力学基本概念及原理
2. 平行四边形法则
作用于物体上同一点的两个力，可以合成为作用于该点的一个 合力，它的大小和方向由这两个力的矢量为邻边所构成的平行四边 形的对角线来表示。
同一点两个 力的合力是
矢量和
FR F1 F2
F1
FR
A
F2
F1
F2 FR
A
也可用力三角形法则求得合力矢 此公理表明了最简单力系的简化规律，是复杂力系简化的基础
30
第三节 平面一般力系
平面力系中，各力的作用线既不全部汇交于一点，也不 全部互相平行，这样的力系称为平面一般力系，简称平面力 系。（也有教材称为平面任意力系）
力线平移定理 平面一般力系
平面汇交力系 平面力偶系
合成 FR=Fi 平衡 Fx=0
Fy =0 合成 M=Mi 平衡 Mi =0
31
F Fx2 Fy2
b2
B
Fy
Fy
F

cos Fx
F
cos Fy
F
a2

A
Fx
x
o
a1 Fx b1
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第二节 平面汇交力系和平面力偶系
3）合力投影定理
FR FRxi FRy j
n
n
n
n
合力 FR Fi (Fixi Fiy j) Fixi Fiy j
第三节 平面一般力系
一、力线平移定理
力线平移定理： 作用于刚体上的力，可以平移到同一刚体 的任意指定点，但必须同时附加一力偶， 其力偶矩等于原来的力对该指定点的矩。
F′
F′
F
M
BdΒιβλιοθήκη =BA F′′
M=±F. d=MB(F)
力线平移定理 是力系简化的
理论依据
A
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第三节 平面一般力系
二、平面一般力系向一点的简化·主矢和主矩
下几种情况′ ：
(1) F 'R 0 , MO 0 (2) F 'R 0 , MO 0 (3) F 'R 0 , MO 0
称该力系平衡 该力系等效一个合力偶 该力系等效一个合力
(4) F 'R 0 , MO 0 仍然可以继续简化为一个合力
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第三节 平面一般力系
(4) F 'R 0 , MO 0 仍然可以继续简化为一个合力
F 'R
O
MO
O
F ''R
F 'R
d FR
O’
O
FR
d
O’
只要满足：
F 'R FR ,
d MO MO F 'R FR
FR
原力系的合力
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第三节 平面一般力系
F 'R
O
MO
F 'R
FR
O
d FR
Od
O’
O’
F ''R
MO (FR ) FRd MO MO (Fi ) 即： MO (FR ) MO (Fi )
梁ADB段的受力图
q
F’Bx B
C
F’By
FC
梁BC段的受力图
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第一节 静力学基本概念及原理
F
q
FAx A FAy
D
B
FD
C
FC
整体受力图
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第一节 静力学基本概念及原理
例3-5 不计三铰拱桥的自重与 摩擦，画出左、右拱AB，CB 的受力图与结构整体受力图。 解： 右拱CB为二力构件，其受力图 如图（b）所示
刚体（受压平衡）
变形体（不能平衡）
8
第一节 静力学基本概念及原理
三、物体的受力分析与受力图
受力分析： 明确构件受哪些力作用，其中哪些力已知，哪些力未知 受力图： 分离研究对象，解除约束，单独画出研究对象的图形，并 画出作用在它上面的主动力和约束反力
受力图是分离体图
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第一节 静力学基本概念及原理
例3-1 已知球重为W，各接触面均光滑， 试画出球的受力图。
CD杆的受力图能否画为如 若这样画，则AB梁受力图
图(d)所示？
为如图(e)所示
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第一节 静力学基本概念及原理
例3-3 简支梁AB两端分别固定 在铰支座与滚轴支座上。在C
A
F

C
B
处作用一集中力F，梁的自重
不计。试画出此梁的受力图。
解：取梁AB为研究对象
FAx A
F

C
B
FA A
F

C
B
FAy
FB
力偶矩 M
d
F
F’
MO (F, F ') MO (F ) MO (F ') Fd
＋
－
单位：N·m，kN·m 等
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第二节 平面汇交力系和平面力偶系
2. 力偶与力偶矩的性质 1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零
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第二节 平面汇交力系和平面力偶系
2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，与矩心的位置无关
FR
F '2 Rx

F '2 Ry

( Fxi )2 ( Fyi )2
cos Fx , cos Fy
FR
FR
主矢与简化点O位置无关
n
M O M O (Fi ) i 1
主矩与简化点O位置有关
34
第三节 平面一般力系
三、平面一般力系向一点简化结果分析
平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩，可能有以
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第一节 静力学基本概念及原理
取左拱AC，其受力图如图 （c）所示
系统整体受力图如图 （d）所示
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第一节 静力学基本概念及原理
考虑到左拱AC三个力作用下 平衡，也可按三力平衡汇交定 理画出左拱AC的受力图，如 图（e）所示
此时整体受力图如图（f） 所示
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第一节 静力学基本概念及原理
讨论：若左、右两拱都考虑自重， 如何画出各受力图？
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 两个坐标轴上投影的代数和等于零。
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第二节 平面汇交力系和平面力偶系
二、力对点之矩
力臂
MO (F ) Fh
＋
－
MO (F ) 2SABO
A
F
h
B
O
说明： 单位：N·m，kN·m 等
矩心
1） 平面内力对点之矩是代数量，其大小与力的大小及矩心位置有关； 其正负号取决于力使物体绕矩心转动的方向：逆正顺负；
如图 （g）（h） （i）
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第二节 平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系： 平面力系中各力的作用线相交于同一点
一、平面汇交力系的合成与平衡
1. 几何法（力多边形法）
平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力等于已知力 系各力的矢量和，其作用线通过力系的汇交点
n
FR F1 F2 Fn Fi i 1
M
O
F
,
F


M
O
F


M
O
F

1
1
1
F d x1 F x1 Fd
M
O
F
,
F


F


d

x2


F

x2
2
F 'd Fd
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第二节 平面汇交力系和平面力偶系
3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移动， 而不改变对刚体的作用效果 4）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与 力偶臂的长短，而不改变对刚体的作用效果 5）力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡
2） 力对点之矩不因力沿作用线移动而改变；
3） 力臂和力中任一个为零时，力对点之矩为零；
4） 互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
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第二节 平面汇交力系和平面力偶系
三、力偶和力偶矩
1. 基本概念
力偶
由大小相等，方向相反且不共线的两力组成的力系
记作：( F , F ')