特征值与特征向量的基础知识 特征值求取 函数eig()计算特征值 舒尔分解和奇异值分解 矩阵指数计算 计算范数和矩阵谱半径的函数
8.1特征值与特征向量的基础知识
定义1 设矩阵A, BR nn，若有可逆阵P，使 BP1AP
则称A与B相似。
定理1 若矩阵A, BR nn且相似，则
（1）A与B的特征值完全相同； （2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。
1
0 0
k
达到最小值。
当i (i = 1, 2, …, n)为实数，且1>2 ≥…≥n时，取
*0 12(2 n)
则为 (0) 的极小值点。这时
2*0 1*0
21 221 2n 11 221 2n
21 2 2 nn
1 2
8.2.3 反幂法
设ARnn可逆，则无零特征值，由
A x x
(x0 ) 有
A1x 1 x
k
j
1j vj
希望
|
2
/
1
|
越小越好。
不妨设 1 > 2 … n ，且 | 2 | > | n |。
取0（常数），用矩阵B = A - 0I 来代替A进行乘幂迭代。 设i (i = 1, 2, …, n)为矩阵B 的特征值，则B与A特征值之间
应有关系式：
i i 0
(i = 1, 2, …, n)
我们选取Pk，使得
a(k) pq
0
，因此需使 满足
tg2
2a(pkq1)
a a (k1) pp
(k1) qq
将 限制在下列范围内
4
4
如果
a(k1) pp
aq(kq1)
0
a(k1) pq
0
4
a(k1) pq
0
4
直接从三角函数关系式计算sin 和cos，记
yai(ik1) a(jki1)
x2y2
特征向量的计算
记 P0 = I
则 Pk Pk1PkT
Pk 的元素为：
Pi(pk)
P(k1) ip
cos
P(k1) iq
sin
Pi(qk) Pi(pk1) sin Pi(qk1) cos
Pi(jk)
P(k1) ij
j p,q
算法：
1．从A(k-1)中找出绝对值最大元素
a , (k1) p,q
12
收敛速度取决于
r 3 1 1
的程度。向量
x(k1)
x(k)
1
、
x(k1) 1x(k)分别为主特征值1、2相应的特征向量的近似值。
c）若 1 2 ，则连续迭代两次，计算出x(k+1)，x(k+2)，
然后对j = 1, 2, …, n 解方程
xj(k2)pj(x k 1)qj(x k)0
定理2： 设AR nn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关
的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为 对角阵，即有可逆阵P，使
1
P1AP D
2
n
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
定理3 ：AR nn，1, …, n为A的特征值，则
（1）A的迹数等于特征值之和，即
1
收敛速度取决于 r 2 1 的程度，r << 1收敛快，r 1收敛慢，
1
且x(k)（当k充分大时）为相应于1的特征向量的近似值。
（2）当 1 2 3 时
a）若1 = 2，则主特征值1及相应特征向量的求法同（1）；
b）若1 = -2，对i = 1, 2, …, n
lim
k
x(k1) i x(k) i
求出p 、q 后，由公式
1
pi 2
q
p2
2
2
pi 2
q
p2
2
解出主特征值1、2。此时收敛速度取决于
r 3 1 1
的程度。
向量
x(k1)
x(k)
2
、
x(k1)
x(k)
1
分别为相应于1，2
的特征向量的近似值。
规范化乘幂法
令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使
xi0 m 1ian xi
pq
2．若
a(k1) pq
，则为对角阵，停
若
a(k1) pq
（1）令
ya(pk p1) aq(kq1)
x 2 a ( p k 1 ) q si a ( p k g 1 ) p a q ( n k 1 ) q
（2） cos2 y
x2 y2
当 y = 0时， 4
si2 n x
1
1
cos sin
1
P ij
1
sin cos
1
1
i
j
为旋转矩阵
2．雅克比方法
设矩阵ARnn是对称矩阵，记A0 = A，对A作一系列
旋转相似变换
A k P k A k 1 P k T ( k 1 ,2 , )
其中Ak (k = 1, 2,…)仍是对称矩阵，Pk的形式
2 2 (2 ,1 )1, 2 2 2 2
可以验证（1, 2）= 0，即1与2正交。若令
3 3 (3 , 1 )1 (3 , 2 )2
则 (3 ,1)(3 ,2)0
即与1, 2正交，将其单位化为
33 3 2
于是向量组1, 2, 3构成R3上一组标准正交基，且
12 [1,2,3][1,2,3]
B i ( A v 0 I ) v i A i 0 v v i (i 0 ) v i
关于矩阵B的乘幂公式为
x (k ) B kx (0 ) (A 0 I)kx (0 )
1k1v1
jn2j1j
kvj
(10)k1v1j n2j1j 0 02vj
为加快收敛速度，适当选择参数0，使
(0)
maxj 2jn
第8章 矩阵特征问题的计算
南京中医药大学信息技术学院 制作:张季
引言
• 工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定 性分析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特 征值与特征向量的问题.
第8章 矩阵特征问题的计算
• 8.1 • 8.2 • 8.3 • 8.4 • 8.5 • 8.6
xsinai(ik1) a(jkj1) 2ai(jk1)
则
tg 2 x
y
当 时 ，有下面三角恒等式： 4
2c2 o s1co 2 s 1 y 1t2 g 2 x2y2
于是 2co2s1 y
x2 y2
采用下面公式计算 sin
si2 n 2 s ic n o s t2 g co 2 s x
P0 = I
Pip PipC PiqS Piq PipS PiqC Pij Pij
j p,q
关于计算矩阵A的特征值问题，当n＝2,3时，我
们还可按行列式展开的办法求(λ)=0的根. 但当n较 大时，如果按展开行列式的办法，首先求出(λ)的系 数，再求(λ)的根，工作量就非常大，用这种办法求
矩阵的特征值是不切实际的，由此需要研究求A的特 征值及特征向量的数值解法.
本章将介绍一些计算机上常用的两类方法，一 类是幂法及反幂法（迭代法），另一类是正交相似 变换的方法（变换法）.
若 A 有| 1 | | 2 | … > | n |，则 A1 有
1
n
1
n1
…
1
1
对应同样一组特征向量。
A1 的主特征根
A的绝对值最小的特征根
如何计算 解线性方程组
x(k1)A 1x(k)
A(x k1) x(k)
规范化反幂法公式为
y(k)x(k) ma x(kx ))(
A(kx 1)y(k)
n
n
tr(A) aii i
i1
i1
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
de A ) t(12 n
定理4 设AR nn为对称矩阵，其特征值1≥2≥…≥n，则
（1）对任意AR n，x≠0，
n
(Ax, x) (x, x)
1
（2）
n
min(Ax, x) x0 (x,x)
（3）
1
max(Ax, x) x0 (x,x)
ip,q
a aq ((pk kq ))p a a((p pk k p p1 1))scio22ns 22aa(p(pkk q q11))ssiin nccooss aaq (q (kkq q 11))csio2 2ns
a(pk)qa(pk p1)aq (kq 1) sincosa(pk q1)(co 2 ssi2n)
定理5 （Gerschgorin圆盘定理） 设AR nn，则
（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，
n
zaii aij , i1,2,,n j1 ji
n
表示以aii为中心，以 a ij 半径为的复平面上的n个圆盘。 j1 j i
（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余
n – m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。
5.4 对称矩阵的雅克比 (Jacobi) 旋转法 1．预备知识
1）若B是上（或下）三角阵或对角阵， 则B的主对角元素即是B的特征值。
2）若矩阵P满足PTP = I，则称P为正交矩阵。 显然PT = P-1，且P1, P2,…, 是正交阵时， 其乘积P = P1P2…Pk仍为正交矩阵。ຫໍສະໝຸດ 3）称矩阵x2y2
sin c os1
2
（3） Ccos 11co2s
2
Ssinsin2
2C
（4）