误差纠正模型（参数重组）：
Δyt = m − Πyt−1 + B1Δyt−2 + + Bp−1 yt− p+1 + ε t Π = I − A1 − Ap
特征方程： I − A1w − Ap w p = 0
讨论： （1） r(Π ) = k ： yt ~ I (0) （2） r(Π ) = r < k ： yt ~ I (n) ，r 个协积向量。 （3） r(Π ) = 0 ： Π = 0 ，没有协积关系。
+
⎡a11 ⎢⎣a21
0 a22
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
y1,t −1 y2,t −1
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ε 1t ⎢⎣ε 2t
⎤ ⎥ ⎦
检验滞后变量系数的（联合）显著性。
3. 预测：以 VAR（1）为例
yt = Ayt−1 + ε t yn+s = As yn + As−1ε n + + ε n+s yˆn+s = As yn es = As−1ε n + + ε n+s var(es ) = As−1Ω ( A')s−1 + + Ω
回归的标准差。
等价表述： ut = Pεt
⎡ 1/ s1
P
=
⎢ ⎢
−
b21
⎣ s2.1
0⎤ ⎥
1/ s2 ⎥ ⎦
∑ P−1(P−1)'= Ωˆ = 1 n
ε
t
ε
' t
Choleski 分解。
则：εt = P−1ut ，代入 VAR 模型，计算以后各期的 y 响应。
分解次序对分解结果有显著影响。
5. 方差分解
9.2 VAR 估计
平稳时：估计 VAR
非平稳时：估计 VECM
1. 阶数判定
信息准则
似然比检验： LR = n[ln Ωˆ 0 − ln Ωˆ1 ] ~ χ 2 (q)
q = k 2 ( p0 − p1)
2. Granger 因果关系检验
⎡ ⎢ ⎣
y1t y2t
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡m1 ⎢⎣m2
⎤ ⎥ ⎦
βˆ1 βˆ2
⎤ ⎥ ⎥
⎢⎥
=
(X 'Σ
−1 X )−1 X 'Σ
−1 y
⎢⎢⎣βˆm
⎥ ⎥⎦
var(bˆGLS ) = ( X 'Σ −1 X )−1
9.3 基于向量误差纠正模型的协整分析 确定协整秩 迹检验：备选假设：协整秩 k。 最大特征值检验：备选假设：协整秩 r+1。 估计协整向量和调节向量：ML 估计 估计误差纠正模型 例子：Example1
9.4 联立方程模型
VAR 模型的问题：自由度，多协积向量的解释
结构参数的设定和识别等。
1. 联立方程模型：
3. 估计
（1） 单方程估计——2SLS
非平稳性和协积关系不影响估计和检验的渐
进有效性——Hsiao。
（2） 系统估计——3SLS
基于 2SLS 的残差计算各方程扰动项的协方
差矩阵，进行 SUR 估计。
SUR 估计：
对方程组：
⎡ y1 ⎤ ⎡ X1 0 …
⎢ ⎢
y2
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
0
X2 …
⎢ ⎥⎢
0 ⎤⎡ β1 ⎤ ⎡ u1 ⎤
yt = m + Ayt−1 + ε t
令 A 的特征值与特征向量分别为：
⎡λ1 = 1
⎤
Λ
=
⎢ ⎢
λ2
⎥ ⎥
⎢⎣
λ3 ⎥⎦
C = [c1 c2 c3 ]
其中： λ2 < 1， λ3 < 1
令： zt = C −1 yt 则 z1t ~ I (1) ， z2t ~ I (0) ， z3t ~ I (0) 。
Ch9 多方程模型
9.1 向量自回归
yt = m + A1 yt−1 + A2 yt−2 + + Ap yt− p + ε t
E(ε t ) = 0
E
(ε
Ω ⎩⎨0,
,
t=s t≠s
1. 两变量 VAR（1）模型
⎡ ⎢ ⎣
y1 t y2t
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡m1 ⎢⎣m2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡a11 ⎢⎣a21
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
β
2
⎥ ⎥
+
⎢ ⎢
u
2
⎥ ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎥ ⎣ym ⎦
⎢ ⎣
0
0
…
X
m
⎥ ⎦
⎢⎣β
m
⎥ ⎦
⎢⎣um
⎥ ⎦
⎡σ 11 I
Σ
=
E (uu ' )
=
⎢⎢σ 21I ⎢
⎢⎣σ m1I
σ12 I σ 22 I
σ m2I
σ1m I ⎤
σ
2m
I
⎥ ⎥ ⎥
=
Σ
c
⊗
I
σ
mm
I
⎥ ⎦
bˆGLS
=
⎡ ⎢ ⎢
结构方程：
Byt + Cxt = ut
ut ~ iidN (0, Σ )
简约方程： yt = Πxt + vt
Π = −B−1C
vt = B −1ut
vt ~ iidN (0, Ω ) ， Ω = B−1Σ (B−1)'
似然函数：
∑ L
=
p( yt
xt )
=
(2π )−n
Ω
−n / 2
exp⎢⎣⎡−
向前一期预测的方差：
Ω
=
P−1 (P −1 )' =
⎡c11 ⎢⎣c21
0 ⎤⎡v1
c2
2
⎥ ⎦
⎢ ⎣
⎤ ⎡c11
v2
⎥⎢ ⎦⎣
0
c21 ⎤
c22
⎥ ⎦
方差来源的分解：
var(yˆ11) = c121v1
var( yˆ21 ) = c221v1 + c222v2
多部预测方差的分解：
var(es ) = As−1P −1 ( As−1P −1 )' + + P −1 (P −1 )'
yt = Pzt = p1z1t + p2 z2t + p3 z3t
z2t = p(2) yt ~ I (1) ， z3t = P(3) yt ~ I (0) 。 一般而言，y～I(2)：
两个协积向量，一个平稳的协整关系。
3. 高阶系统
yt = m + A1 yt−1 + A2 yt−2 + + Ap yt− p + ε t
y1t 和 y2t 之间存在一个协积关系 z2t 。
误差纠正模型：
Δyt = m − Πyt−1 + ε t ， Π = I − A
Π
=
I
−
A
=
C
⎡1− λ1 ⎢⎣ 0
0 1− λ2
⎤ ⎥⎦C
−1
=
[
]
[
] = αβ '
其中： β 协整向量
α 调节向量。
情形 3： λ1 = λ2 = 1 如果 A 不对称， C −1 不存在，但存在矩阵 P：
1 2
( yt − Πxt )'Ωˆ −1( yt − Πxt )⎥⎦⎤
2. 识别条件：
必要条件：阶条件——方程排斥掉的前定变量个数大于
等于方程包含的内生变量个数减 1.
充要条件：秩条件——在包含 G 个方程的系统中，方程
不含而其它所有方程所含的变量的系数矩阵中，可以构造至
少一个行列式不为 0 的 (G −1) 阶方阵。
A = PJP−1
J
=
P −1 AP
=
⎡1 ⎢⎣0
1⎤ 1⎥⎦
令： zt = P−1 yt
则： zt = m * +Jzt−1 +ηt
即：
z1t = m1 * + z1,t−1 + z2,t−1 +η1t
z2t = m2 * + z2,t−1 +η2t
则： z1t ~ I (2) ， z2t ~ I (1) ， yt ~ I (2) z2t ~ I (1) 是 yt ~ I (2) 的一个协积关系。 2. 三变量 VAR（1）模型
μ2 ⎥⎦
] μ3c3
⎡c ( 2) ⎢⎣c (3)
⎤ ⎥ ⎦
=
αβ
'
讨论：
λ1 = λ2 = 1， λ3 < 1
⎡1 1 0 ⎤
有非奇异矩阵 P， P−1AP = J = ⎢⎢0 1
0
⎥ ⎥
⎢⎣0 0 λ3 ⎥⎦
令： zt = P−1 yt 则 z1t ~ I (2) ， z2t ~ I (1) ， z3t ~ I (0)
即：
z1t = m1 * +λ1z1,t−1 +η1t
z2t = m2 * +λ2 z2,t−1 +η2t
情形 1： λ1 < 1且 λ2 < 1
zt ~ I (0) ， yt ~ I (0) 。
情形 2： λ1 = 1， λ2 < 1
z1t ~ I (1) ， z2t ~ I (0) ， yt ~ I (1) 。
yt = Czt = c1z1t + c2 z2t + c3 z3t