8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．ODC BA模型分析 证法一：∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二：∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；图图①FD C BAE EBCDA图③21O AB图④G F 12AB E解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°．解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ．∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ．∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．图②FDCBAE312图⑤P O QA BFC D图⑥21EDCFOBA（2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F＝360°．（四边形内角和为360°） 练习：1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ；图图①OOEEDDCCBBAA解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝ ．图②OEDCBA解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E ＝180°解法二：2．如图，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝．HGFEDCBA解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°解法二：模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．C图①图②模型分析解法一：如图①，作射线AD．∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4是△ACD的外角，∴∠4＝∠C＋∠2∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C解法二：如图②，连接BC．∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4）∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM并延长．∵∠3是△AMD的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM，∵∠4是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM ，∵∠AMC ＝∠3＋∠4 ∴∠AMC ＝∠1＋∠ADM ＋∠CDM ＋∠2，∴∠AMC ＝∠1＋∠2＋∠ADC ．（角的飞镖模型）∵AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，∴12BAD ∠∠=，22BCD∠∠=， ∴22BAD BCDAMC ADC ∠∠∠=++∠，∴()3602B ADC AMC ADC ︒-∠+∠∠=+∠（四边形内角和360°），∴3602B ADCAMC ︒-∠+∠∠=，∴2∠AMC ＋∠B －∠ADC ＝360°.练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .DE【答案】230°提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .AA【答案】220°提示：如图所示，连接BD.∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C ，∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论AC+BD>AD+BC ．CA模型分析∵OA+OD>AD①， OB+OC>BC②，由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。

求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD；(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.B证明：(1)∵AB+BC>AC①， CD+AD>AC②， AB+AD>BD③， BC+CD> BD④由①+②+③+④得： 2 (AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD). 即AB+BC+CD+AD >AC+BD.(2) ∵AD<OA+OD①，BC<OB+OC②，由①+②得： AD+BC< OA+OD+OB+OC．∴AD+BC<AC+BD.（边的8字模型），同理可证：AB+CD <AC+BD.∴AB+BC+CD+AD< 2AC+2BD.模型4 边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.B模型分析如图，延长BD 交AC 于点E 。

∵AB+AC=AB+AE+EC ，AB+AE>BE ，∴AB+A C>BE+EC.① ，∵BE+EC=BD+DE+EC ， DE+EC> CD ，∴BE+EC>BD+CD. ② ，由①②可得：AB+AC>BD+CD.模型实例如图，点O 为三角形内部一点．求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC ；(2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.B B证明：(1)∵OA+OB>AB ①， OB+OC>BC ②， OC+OA>AC ③由①+②+③得： 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC (2)如图，延长BO 交AC 于点E ，∵AB+AC=AB+AE+EC ， AB+AE>BE ， ∴AB+AC>BE+EC. ① ∵BE+EC=BO+OE+EC ， OE+EC>CO ，∴BE+EC>BO+CO，② 由①②可得： AB+AC>BO+CO.③（边的飞镖模型） 同理可得： AB+BC>OA+OC.④ ，BC+AC>OA+OB.⑤ 由③+④+⑤得： 2 (AB+BC+AC)>2 (AO+BO+CO). 即 AB+BC+AC>AO+BO+CO.1．如图，在△ABC 中，D 、E 在BC 边上，且BD=CE 。

求证：AB+AC>AD+AE.B【答案】证法一：如图①，将AC 平移至BF ，AD 延长线与BF 相交于点G ，连接DF 。

由平移可得AC=BF ，∵AC ∥BF ，∴∠ACE=∠BFD ，∵BD=CE ∴△AEC ≌△FDB ，∴DF=AE如图，延长AD 交BF 于点G ，∵AB+BF=AB+BG+GF. ∵AB+BG>AG ， ∴AB+BF>AG+GF ① ，∵AG+GF=AD+DG+GF ， ∵DG+GF>DF ，∴AG+GF>AD+DF ② ，由①②可得：AB+BF>AD+DF.（飞镖模型） ∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE. ∴AB+AC>AD+AE.B证法二：如图②，将AC 平移至DF ，连接BF ，则AC=DF ，∵AC ∥DF ，∴∠ACE=∠FDB.∵BD=CE ，∴△AEC ≌△FBD. ∴BF=AE. ∵OA+OD>AD ①， OB+OF>BF ② 由①+②得：OA+OD+OB+OF>BF+AD. ∴AB+DF>BF+AD.（8字模型） ∴AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD. ∴AB+AC>AD+AE.F2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由． (1)如图①，△ABC 中，P 为边BC 一点，请比较BP+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由．(2)如图②，将(1)中的点P 移至△ABC 内，请比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．(3)图③将(2)中的点P变为两个点1P 、2P ，请比较四边形12BPP C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由.BB B【答案】（1）如图①，BP+PC<AB+AC.理由：三角形两边之和大于第三边。