专题三：三角函数与三角变换（附参考答案）1.高考要求解读1.1考纲要求：1.1.1三角函数 1.任意角、弧度制（1）了解任意角的概念和弧度制的概念 （2）能进行弧度与角度的互化。
2.三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像，了解三角函数的周期性。
（3）正确理解正弦函数、余弦函数在[]π2,0上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等），理解正切函数在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内的单调性。
（4）理解同角三角函数的基本关系式：.tan cos sin ,1cos sin 22x xxx x ==+ （5）了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出函数)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响。
（6）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
1.1.2三角恒等变换1.两角和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量出两角差的余弦公式。
（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。
（3）会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系。
2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进惊醒简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。
1.2考点解读1.2.1考情分析三角函数是高考的考查热点，命题的一般模式为一个选择题（或填空题）和一个解答题，其中选择题（填空题）一般多为基础题，解答题为中档题。
解答题多为三角函数与三角变换的综合问题或三角函数与其他知识的教会问题。
近年宁夏高考题，命题从三角函数与解三角形结合的问题出发命题的趋势明显。
高考中三角函数所占分值大约在10~14分之间。
1.2.2考点分析 考点一：基本概念考查任意角的概念、弧度制、三角函数的概念、三角函数的符号等。
直角三角形中锐角的三角函数定义在与空间几何结合的问题中频繁考查，应予以重视任意角三角函数的定义的应用。
其中三角函数的符号是考查重点。
考点二：同角三角函数的基本关系式和诱导公式考查运用这两类公式进行三角函数式的求值、化简和证明。
其中，同角三角函数的基本关系式和三角函数式的求值问题是考查的重点。
考点三：考查三角函数的图像和性质考查三角函数图像的画法、性质，性质主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数在[]π2,0的单调性、最大值和最小值、零点、最小正周期等。
考点四：函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像和性质。
考查函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的定义域、值域（最值）、单调性、周期性、对称性等性质等，是三角函数考查的热点。
另外对函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像伸缩、平移变换的考查也是热点。
考点五：考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，而倍角的正弦、余弦、正切公式的运用。
考点六：考查简单的三角恒等变换。
主要考查综合运用同学们在以前学习的三角公式，进行一些简单的三角恒等变换，解决化简、求值、证明等问题。
考点七：考查三角函数和三角恒等变换的综合应用。
本考点是一个考查重点，主要考查通过三角恒等变换化简三角函数式，进而研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等性质。
2要点知识分析要点知识复习2.1任意角的三角函数 ①任意角的三角函数定义已知角α终边上任意一点P 的坐标为),(y x ，则22y x r +=，其中r 为点P 到原点的距离.xy r x r y ===αααtan ;cos ;sin ②同角三角函数基本关系式.tan cos sin ,1cos sin 22x xxx x ==+ ③诱导公式第一组：关于απαπ±±2;的诱导公式 απααπαcos )2cos(sin )2sin(=+=+k k ααπααπcos )cos(sin )sin(-=-=- ααπααπcos )cos(sin )sin(-=+-=+ααπααπcos )2cos(sin )2sin(=-=- ααπααπcos )2cos(sin )2sin(=+=+记忆方法:函数名不变，符号看象限第二组：关于απαπ±±23,2的诱导公式ααπααπsin )2cos(cos )2sin(=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin(-=+=+ ααπααπsin )23cos(cos )23sin(-=--=- ααπααπsin )23cos(cos )23sin(=+-=+记忆方法：函数名变为余函数名，符号看象限 2.2函数图像和性质①函数x y sin =、x y cos =、x y tan =的图像和性质。
②函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像和性质。
“五点法”可画出正弦函数、余弦函数的简图，还可利用此法求参数ϕω,,A 的值。
在复习函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像时，要掌握由x y sin =的图像经过平移、伸缩等一系列变换得到函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像的变换步骤。
求平移的量时，若x 的系数不为1，需把x 的系数先提出来，提完后在括号中x 加或减的那个量才是平移的量。
2.3三角变换①两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
)1tan (tan tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±≠±=±=±±=±βαβαβαβαβαβαβαβαβαβα变形公式:)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 两角和与差的正切公式的变形公式是考查的重点。
②二倍角公式αααααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin -=-=-==)1(tan tan 1tan 22tan 2±≠-=αααα二倍角的余弦公式正用有升幂的作用；逆用有降幂的作用。
在三角变换中要根据具体情境灵活应用。
变形公式：22cos 1sin ;22cos 1cos 22αααα-=+=3、典型例题例1（本小题满分12分）已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β.本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
变式训练：（北京卷）已知函数1)4()cos x f x xπ-=， （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值例2（江苏卷）︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用. 变式训练：3．sin15cos75cos15sin105+等于（ ）Ａ．0Ｂ．12Ｄ．1例3. 已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．变式训练：已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求： （I ）函数()f x 的最小正周期； （II ）函数()f x 的单调增区间．．例4.（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的 图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．变式训练：(重庆卷)设函数f (x )=3x ω2cos +x x ωωcos sin +a(其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值.例5. 设函数b a x f •=)(,其中向量=(m,cos2x),=(1+sin2x,1),x ∈R ,且函数y=f(x)的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x 的值的集合.变式训练：已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1,41tan βα，()2,cos α=b ，且•m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值． 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．随堂练习一、选择题（本小题共10个小题，每小题5分） 1.（全国Ⅰ文）α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（ ） Ａ．513Ｂ．513-Ｃ．512 Ｄ．512-2. （全国Ⅱ）函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 3. （江西文）函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（ ） Ａ．π4Ｂ．π2Ｃ．πＤ．2π4. （福建文）函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｄ．关于直线π3x =对称 5. （福建文）sin15cos75cos15sin105+等于（ ） Ａ．0Ｂ．12Ｃ．2Ｄ．16.（宁夏，海南）若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ）Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．27. （宁夏，海南）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >8．（宁夏，海南）函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）9x的图象（ ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位10.（浙江）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =则（ ）A ．126ωϕπ==，B ．123ωϕπ==，C ．26ωϕπ==，D ．23ωϕπ==，二、填空题（本题共有5个小题）11.（上海春）函数2)cos sin (x x y +=的最小正周期为 .12.（江苏卷）若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，.则tan tan αβ= .13.（安徽文）函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．14.（浙江）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是15.（全国II ）若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝三、解答题（本题共有5个小题）16.（安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=- （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。