( t)F(t)的傅里叶变换 FF(t)，也就是2f ( ) ，
再求得f
(t) =
1
2
F F (t ) t 。
t
0
1
t
0
1
解： f (t) = t p(t 0.5)dt = t y(t)dt
由于 p(t 0.5) F Y ( j) = Sa (0.5)e j0.5
利用时域积分特性，可得
F( j) = 1 Y ( j) πY (0) () j
= 1 Sa (0.5)ej0.5 π () j
例 试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)， 则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
则 f * (t) F F * ( j) f * (t) F F * ( j) F(j)为复数，可以表示为
由展缩特性，
Sa(0t) = Sa(20
t ) F 2
2
20
p1( 20 ) = 0
p20 ()
5. 时移特性
若f (t) F F ( j) 则f (t t0 ) F F ( j) e jt0
式中t0为任意实数
证明：
F[ f (t t0 )] = f (t t0 )ejt dt
令x = tt0，则dx = dt，代入上式可得
j
10. 积分特性
若f (t) F F ( j)
则t
f
( )d
F
1
j
F( j)
πF(0) ()
证明:
f
(t)u(t) =
f
(
)u(t
)d
=
t
f
(
)d
F (0)
=
f
(t )dt
再利用时域卷积性质
f
(t)u(t) =
t
f
(
)d
F ( )
1
j
()
=
F()
j
F (0)
()
如果f (t ) 的积分为零（直流分量为0），则 F(0) = 0,
则f1(t)
f 2 (t) F
1 2π
[F1
(
j)
F2 ( j)]
证明： F[ f1(t) f2 (t)] = [ f1(t) f2 (t)]ejωtdt
=
f
2
(t
)e
jωt
[
1 2π
F1( j )e jΩtd ]dt
=
1 2π
F1 ( j )d
[
f 2 (t)ej( )t dt]
=
1 2π
2/ 2 0
t
/22
p1(t) Sa ( / 2)
1 f(t)
2
由f1 (t) f 2 (t) F F1 ( j) F2 ( j)
f1(t) F Sa2 (/2)
21 0
t
21
f
(t) =
A
f1
(
t ) F /2
A
2
Sa2 (
4
)
8. 乘积特性
若f1 (t) F F1 ( j)
f 2 (t) F F2 ( j)
1 2π
[
F1
(
j
n F ( j)
)
F2
(
j)]
dt n
t
f
(
)d
F
1
j
F(
j)
πF (0)
()
t n f (t) F jn dF n ( j) d n
傅里叶反变换
1 利用傅里叶变换互易对称特性
若 f (t) F( ) ，则 F(t) 2f ( ) 。
因此，在已知 F ( )前提下，可以先求出其时域形式
当f(t)为实偶函数时，有
F(j) = F*(j) ， F(j)是的实偶函数
当f(t)为实奇函数时，有
F(j) = F*(j) ， F(j)是的虚奇函数
3. 互易对称特性
若f (t) F F ( j)
f (t)
A
则F ( jt) F 2πf ()
F(j) A
0
t
2
2
F(jt)/2 A
t
4π 2π 2π 4π
频分复用多路通信：利用调制原理，可将需要传输的若干低频信 号分别搬移到不同的载波频率附近，并使它们的频谱互不重叠， 这样就可以在同一信道内传送许多路信号。
7. 卷积特性
若f1 (t) F F1 ( j)
f 2 (t) F F2 ( j)
则f1 (t) f 2 (t) F F1 ( j) F2 ( j)
4. 展缩特性
若f (t) F F ( j)
则f (at) F 1 F ( j )
aa
证明:
F[ f (at)] = f (at)ejt dt
令 x = at，则 dx = adt ，代入上式可得
F[ f (at)] =
1 a
j x
f (x)e a dx =
1
F(j)
aa
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
F1
(
j
)F2
[
j(
)]d
]
=
1 2π
[F1
(
j)
F2
(
j)]
9. 时域微分特性
若
f (t) F F ( j)
则
df (t) F ( j) F( j)
dt
d n f (t) F ( j)n F ( j)
dt n
注：若f(t)有直流分量，应先取出单独求傅立叶变换，余下 部分再用微分性质。
例5 -11 试利用微分特性求图5-17（ｂ）示信号的频谱函数。
度 函数，简称能量谱。
G() = 1 | F( j) |2
2π
傅里叶变换性质一览表
1. 线性特性 2. 对称互易特性 3. 展缩特性 4. 时移特性 5. 频移特性 6. 时域卷积特性 7. 频域卷积特性 8. 时域微分特性 9. 积分特性 10. 频域微分特性
af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j)
4π 2π 2π 4π
f () A
0
2
2
例5-4 求信号f(t)=1/πt的Fourier变换。
解： 由 s gn(t) F 2
j
由互易对称性可得
2 F 2 sgn() = 2 sgn()
jt 由Fourier变换的线性特性可得
1 F j sgn() t
F ( j) = F ( j) e j() = FR ( j) jFI ( j)
当f(t)为实函数时，有
|F(j)| = |F(j)| ， () = ()
FR ( j) = FR ( j), FI ( j) = FI ( j)
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
则 f * (t) F F * ( j) f * (t) F F * ( j)
信号的频域分析
连续周期信号的频域分析 连续非周期信号的频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间Fourier变换的性质 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析
傅立叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性
7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性 12. 能量定理
f(t) 2 1
解： 将f(t)表示为f1(t)+ f2(t)
1 f1(t)
0
1
f2(t) 1
t
0
1
0
1
即
f (t) =1 t p(t 0.5)dt
F ( j) = 1 Sa (0.5)ej0.5 3π () j
t t
例 试利用修正的微分特性求图示信号f(t)的频 谱函数。
f(t) 2 1
f '(t) 1
F ( jt) F 2πf ()
f
(at) F
1
F(j )
aa
f (t t0 ) F F ( j) e jt0
f (t) e j0t F F[ j( 0 )]
f1 (t) f 2 (t) F F1 ( j) F2 ( j)
f1(t) d n f (t
f 2 (t) F ) F ( j)
=
[t
f
(t)]
ejt dt
例5-13 试求单位斜坡信号tu(t)的频谱。
解： 已知单位阶跃信号傅里叶变换为:
F[u(t)] = π () 1 j
故利用频域微分特性可得:
F[tu(t)] = j d [π () 1 ] = π () 1
d
j
2
12.帕什瓦尔能量守恒定理
W = | f (t) |2 dt
f '(t) = p (t 1/ 2) p1(t 1/ 2) F
f(t)
12
Sa( / 2)e j /2 Sa( / 2)e j /2
= 2 jSa( / 2) sin( / 2)
由时域微分性，
21 0
t
12
f (t) F F[ f '(t)] = 2Sa( / 2) sin( / 2) = Sa2 ( / 2)
若 f (t) F F ( j)
则t f (t) F j dF( j) d