第二节定积分计算公式和性质
一、变上限函数
设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为
这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为
如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数
记为
从几何上看，也很显然。

因为X是上一个动点，从而以线段
为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10）
定积分计算公式
利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。

因此，必须寻求计算定积分的简便方法。

我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为
图5-10
图5-11
另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）
即
由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量
即可。

如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：
设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。

为了使用方便，将公式写成
牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。

它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。

它揭示了定积分和不定积分的在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。

例1 计算
因为是的一个原函数所以
例 2 求曲线和直线x=0、x=及y=0所围成图形面积A(5-12)
解这个图形的面积为
图 5-12
二、定积分的性质
设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简
单性质：
性质 1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即
(A为常数)
性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即
这个性质对有限个函数代数和也成立。

性质3积分的上、下限对换则定积分变号，即
以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。

性质4如果将区间分成两个子区间及那么有
这个于区间分成有限个的情形也成立。

下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。

当a<c<b时，从图5-13a可知，由y=f与和x=a x=b及x轴围成的曲边梯形面积:
图5-13a
图5-13b
因为所以
即性质4成立。

当a<b<c时，即点c在外，由图5-13b可知，
显然，性质4也成立。

总之，不论c点在还是外，性质4总是成立的。

例3求
例4求
解=
例5求
解
所以
例6求
解
于是，
例7 设求解因为
所以
=
==
例8 火车以v=72km/h的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。

设火车以加速度a=-5m/刹车。

问从开始刹车到停车，火车走了多少距离？
解首先要算出从开始刹车到停车经过时间。

当时火车速度
刹车后火车减速行驶。

其速度为
当火车停住时，速度，故从
解得
于是在这段时间，火车走过的距离为
=
即在刹车后，火车需走过40m才能停住。

习题5-2
1 求下列定积分：
（1）(2)
(3)(4)
(5)（6）
(7)
(8)(9)(10)
(11)设
2.求由与直线x=1,x=2及x轴所成的图形的面积。

3.一物体由静止出发沿直线运动，速度为，其中,v以m/s单位，求物体在1s到2s之间走过的路程。