学士学位论文题目函数列一致收敛性判别法学生许月指导教师房维维讲师年级 2008级专业数学与应用数学系别数学系学院文理学院哈尔滨师范大学2012年4月目录摘要 (1)关键词 (1)引言 (1)一预备知识........................................................................................................ 错误！未定义书签。

1.1函数列一致收敛性定义 (1)1.2函数列一致收敛性柯西准则 (1)1.3函数列一致收敛性充要条件 (2)二函数列一致收敛性判别法的应用 (2)2.1利用函数列一致收敛性定义证明 (2)2.2利用函数列一致收敛性柯西准则 (3)2.3 利用函数列一致收敛性充要条件 (5)3. 结束语 (6)注释 (6)参考文献 (7)英文摘要 (8)函数列一致收敛性判别法许月摘要: 在高等数学中一致收敛是函数列的一个重要性质，有效的判别函数列一致收敛性的方法，对研究函数列的性质起着重要的作用。

其方法有定义法，柯西准则，充要条件等重要方法，通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，并对各种方法加以系统总结，以便学者熟练并灵活运用.关键词： 函数列；一致收敛；判别法引言本文系统总结了有关函数列一致收敛性的若干证明方法与技巧，通过对例题的分析，回顾了几种常用的函数列一致收敛性判定方法，充分的分析各种判定方法的应用，并结合实例对不同方法进行具体应用，叙述了证明函数列一致收敛性判别方法，即函数列一致收敛性的定义，函数列一致收敛性的柯西准则，函数列一致收敛性的充要条件等方法证明函数列一致收敛性.这样对我们解题将会起到很大的作用.一 预备知识1.1函数列一致收敛的定义定义1：设函数列｛n f ｝与函数()f x 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在一正整数N ，使得当n N >时，对一切x D ∈，都有()()n f x f x ε-<，则称函数列 ｛n f ｝在D 上一致收敛于f ，记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.1.2 函数列一致收敛性的柯西准则定理1（Cauchy ）函数列n f 在D 上一致收敛的充分必要条件上：对任意给定正数ε，总存在正数N ，使得当,n m N >时，对一切x D ∈，都有()()n m f x f x ε-<.1.3函数列一致收敛性的充要条件定理2 函数列｛n f ｝在D 上一致收敛的充要条件是：()()lim sup 0n n x Df x f x →∞∈-=. 二 函数列一致收敛性判别法的应用2.1利用函数列一致收敛性定义证明例1：定义在(),-∞+∞上的函数列()sin ,1,2...n nx f x n n==由于对任何实数x ，都有nn nx 1sin ≤ 故对任给的0ε>，只要1n N ε>=，就有sin 0,nx n ε-<所以函数列sin nx n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛域为无限区间(),-∞+∞, 极限函数()0f x =.注：对于函数列，仅停留在谈论在那些点上收敛是远远不够的，重要的是研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系。

例如，能否由函数列每项的连续性，可导性，来判断出极限函数的连续性和可导性；或极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限，对这些更深刻问题的讨论，必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行。

例2：设在[],a b 上，()n f x 一致收敛于()f x ，()n g x 一致收敛于()g x 。

若存在正数列{}[](),,,1,2,...n M x a b n ∈=。

证明：()()n n f x g x ⋅在[],a b 上一致收敛于()()f x g x ⋅。

证明：先证(){}n f x 一致有界。

因为()n f x 一致收敛于()f x ，所以0,0N ε'∀>∃>，当n N '>时 ()()[](),n f x f x x a b ε-<∈特别地对1,ε=有()()1n f x f x -<，所以()()11,n n f x f x M ≤+≤+即()f x 是有界的。

记[]()1,sup x a b M f x ∈'=，则当n N '>时，()()11,n n n f x f x M '≤+≤+取 {}121max ,,...,1N M M M M M ''=+则有对于任意的[](),,,n n N x a b f x M ∀∈∀∈≤同理可证()g x 是有界的，即0,M '∃>使得()[],,g x M x a b '≤∈，由于()n f x 一致收敛于()f x ，()n g x 一致收敛于()g x ，所以对0,0,N ε∀>∃>当n N >时对一切[],x a b ∈()()()(),22n n f x f x g x g x M M εε-<-<'，所以当n N >时有 ()()()()n n f x g x f x g x -()()()()()()()()n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ≤-+- ()()()()()()n n n f x g x g x g x f x f x ≤-+-22M M M M εεε'<⋅+⋅=' 故()()n n f x g x 在[],a b 上一致收敛于()()f x g x .2.2利用函数列一致收敛性的柯西准则例3：设()n f n x =，1,2n =为定义在)(,+∞-∞上的函数列，证明它的收敛域是(]1,1-，且有极限函数0,1()1,1{x f x x <== （3） 证明：任给0ε>，（不防设1ε<），当01x <<时，由于()()n n f x f x x -=，只要取()ln ,ln N x xεε=，当n N >(),x ε时，就有()()n f x f x ε-<，当0x =和1x =时，则对任何正整数n ，都有()()000n f f ε-=<，()()110n f f ε-=<.这就证得｛n f ｝在(]1,1-上收敛，且有（3）式所表现的极限函数. 当1x >时，则有()nx n →+∞→∞，当1x =-时，对应的数列为，1,1,1,1......-- 它显然是发散的。

所以函数列{}n x 在区间(]1,1-外是发散的.注：对于不等式中含有可考虑用的因子,)()(a f b f -拉格朗日中值定理先处理以下，利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好ξ点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况.例4：可微函数列(){}n f x 在[],a b 上收敛，且导函数列(){}n f x '在[],a b 上一致有界，则(){}nf x 在[],a b 上一致收敛。

证明：由假设存在正数M ，对一切自然数n ，当[],x a b ∈时，有()n f x M '≤，因此对0ε∀>，只要取3M εδ<,则当x x δ'''-<，对一切自然数n ，由微分中值定理有()()()3n n n f x f x f x x M εζδ''''''-=-≤< 其中ζ在'x 和x ''之间，现对[],a b 作k 等分，使b a kδ-<，在各个小区间内任取一点12,,...,k x x x ，在这些点上函数列(){}n f x 收敛，对0ε∀>，存在自然数i N ，当i n N >时，有 ()()3n i m i f x f x ε-<令1max i i k N N <<=，则当n N >时，这一切12,,...,k x x x 都有，()()3n i m i f x f x ε-<，对任意[],x a b ∈，设x 落在i x 所在的小区间上，（1），（2），及n N >有 ()()()()()()()()n m n n i n i m i m i m f x f x f x f x f x f x f x f x ε-≤-+-+-<所以(){}n f x 在[],a b 上是一致收敛的。

注：柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么，只是根据函数列本身的特点来判断函数列是否一致收敛。

例5：()2n n n f x x x =-在01x ≤≤是否一致收敛？ 分析：考察区间收敛与一致收敛的逻辑关系注意联系闭区间连续性与一致收敛的关系. 证明：这里()()()2lim lim 0,01,nn n n n f x x x f x x →∞→∞=-==≤≤，令()()'1120n n nf x nx x -=-=，得n x =()0n f x ≥，而()()010n n f f ==，所以，在n x =()n f x 取极大值. ()()220101111sup sup 224nn n x x f x f x x x ≤≤≤≤⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()n f x 不趋近于()f x .注：当()()01sup n x f x f x ≤≤-不好求时，只好诉之于一致或者不一致收敛的定义或柯西准则。

从上例题也可看出，函数列在有限闭区间上收敛，未必一致收敛，{}2n n x x -在[]0,1上就是如此，这与有限闭区间上连续函数一定一直连续不同。

2.3 利用函数列一致收敛性的充要方法例6：定义在上的函数列 122,0211222,,1,2,...210,1(){n n x x n n n x x n n n x n f x ≤≤-≤≤=<<= （8） 其中1,2,3n =的图像，如图所示. 由于(0)0n f =，故()(0)lim 00n n n f f →∞==。

当01x <≤时，只1n x>，就有()0n f x =，故在(]0,1上有()(0)lim 00n n n f f →∞==于是函数列（8），在]1,0[上的极限函数()0f x =，又由于[]()()()0,11sup 2n n x f x f x f n n n ∈⎛⎫-==→∞→∞ ⎪⎝⎭，所以函数列（8）在[]0,1上不一致收敛。