p n p
(10) (11)
|
i 1 i

i
|
于 是 ， x ( i ) l ， f n ( x ) || i i | | i i | ( n 1,2,) (12) |
i 1 i 1 1/ q n q 由 共 鸣 定 理 ，f n }有 界 ， 即 | i | 有 界 ， 故 | i |q ， { i 1 i 1 由 此 可 知 ( i ) l q， 且 f ( i ) l q ， 结 合 o ，o 所 证 即 知 ：p * l q . 1 2 l
E0
f1 f 2 f1 f 2 2 f 0
此与题设条件矛盾 .
2
2 2 5.记l0 {( 1 , 2 ,) | 只 有 有 限 个 i 0}，l0 上 元x ( i )
2 的 范 数 定 义 为 ＝ | i | ， 试 在 0 上 造 出 一 个 无 界 x l2 i 1 的线性泛函 . 2 x ( i ) l0 , 定 义 ：

1/ 2
f ( x ) n n
n 1 2 则 易 知 是l0 上 的 线 性 泛 函 ， 因 为 en (0, ,0, 1,0,) l0 f 2 对 2 有 en 1， 而f (en ) n， 故 f 是l0 上 无 界 线 性 泛 函 . ( n 1 ) 个 0
4. 设E是 赋 范 线 性 空 间 ， 又 当f1、f 2 E *， 设 f1 f 2 1，f1 f 2时 恒 有 f1 f 2 2， 若f 0是 定 义 在 的 子 空 间 0上 的 有 界 线 性 泛 函 ， 明f 0的 E E 证 保范延拓是唯一的 . 若 f 0 E 0， 则 结 论 显 然 成 立 ， 设 f 0 下
故(η i ) (η 'i ).
9. 设X是 赋 范 线 性 空 间 ， , xn是X中n个 线 性 无 关 的 元 ，1 , , n x1 是一组数，证明 (1)存 在 f X * 使 f ( xi ) i (1 i n) ( 2)对(1)中 的f， f M的 充 要 条 件 是 ： 对 任 数t1 , , t n都 成 立 ， 何 | t i i | M
3. 设 f E *，f 1，N { x E | f ( x ) 0}， 证明： x E， f ( x ) | ( x, N ). |
设x E， 则y N， 有 | f ( x ) || f ( x y ) | f x y x y 故 | f ( x ) | in f x y ( x , N )
i f
m
( 4)
m
结 合(1)、 )即 得 f i (4 则 i ( 'i i ) 0
i 1
满 足1)、2)的 (η i ) m 显 然 是 唯 一 的 ， 事 实 ， 若 (η 'i ) m 也 满 足 、 ， 上 1) 2) x ( i ) l 1 特 别 有 'i i 0，i 1,2,，
2.设{ x n }是赋范线性空间E中一元素列，证明y L{ x n } 的充分必要 条件是：对任何 f E * ，若f ( x n ) 0 ( n 1,2,)，则 f ( y ) 0.
必 要 性 ， 设 L{ xn } f E *，f ( xn ) 0 ( n 1,2,)， 则 对 x L{ xn }， y ， 必 有f ( x )＝0， 现 在 取 i L{ xn }， 使yi y， 则 f ( y ) lim f ( yi ) 0. y
8. 设 f是l 1上 的 有 界 线 性 泛 函 ， 存 在 唯 一 的 ( i ) m ， 适 合 则 y 1) f ( x ) i i
i 1 m
x ( i ) l 1
2) f y
记 en (0, ,0， 0， )，f (en ) n， 则η n f(en ) f en f 1， 故 (η i ) m
y N
(1)
又 因 为 f 1， 故 对 任 意 1， 存 在 E，x 1使f ( x ) 1 ， 0 x f ( x) 令 x x x， 则 f ( x ) 0， 故x N， 从 而 x x ( x , N ) f ( x ) f ( x) f ( x) 所以 x x x ( x , N ) f ( x ) f ( x ) | f ( x ) | f ( x ) ( x , N ) (1 ) ( x , N ) 令 0 ， 即 得| f ( x ) | ( x , N ) ( 2) 结 合 （） （ ） 即 得| f ( x ) | ( x , N ). 1 2
(x ( i ) m )，
故 f是 有 界 的 ， 且f 1， 现 在 ， 特 别 取0 ( i0 i )， x
0 当i i 0 其 中 i0 i ， 则 x0 1， 且 f ( x0 ) i0 i0 1， 1 当i i 0 故 f f ( x0 )＝1， 因 此 f 1.
i 1 n
t x
i 1 i
n
i
(1) 设X 0为 由x1 , , x n所 张 成 的 的 子 空 间 ， 对 x t i x i X 0， 令 ： X
i 1
n
f ( x ) t i i
i 1
n
则 f 是X 0上 的 有 界 线 性 泛 函 ， 把 保 范 地 延 拓 成 上 的 有 界 线 性 泛 函 f X 仍 记 为 f， 则 此 f 满 足 要 求1)， 即 f X *， 且 f ( x i ) i (1 i n). (
1/ q 1/ q lp 1/ p
( 2)
p | i | i 1
可 知 f | i |q ( i ) l p ( 3) i 1 此 外 ， 因 为 i ) l q， 故( i | i |q 1 ) l p (其 中 i sign i ) ( 记x0 ( i | i |
q 1
)， 则 f ( x0 ) i | i |
i 1

q 1
i | i |q
i 1

( 4)
1/ p
但 f ( x0 ) f x0
| i |( q 1) p f i 1
1/ q lp
1/ p
| i |q f i 1

6. 设f ( x )为m上 的 线 性 泛 函 ：x ( i ) m ， 有 f ( x ) i0 ( i0为 固 定 自 然 数 试 证 f是m上 有 界 线 性 泛 函 ， ), 并 求 出 f的 范 数 .
因 为| f ( x ) || i0 | su p| i | x
p i 1 ( n 1 ) 个 0
( 8)
lp
下 证 ( i ) l q， 然 后 由o 中 所 证 ， 即 得 f ( i ) 1 令 f n ( x ) i i
i 1 n
x ( i ) l p
( 9)
1/ q
n o p | i |q 由1 所 证 ， n是l 上 的 有 界 线 性 泛 函 ， 且n f f i 1 此 外 ， 由 （） 易 知 ， x ( i ) l ， 必 有 8
7.设p 1 ， 试 证 p * l q (q l
o q
p ). p1
i 1
1 首 先 证 明 ： 若 i ) l ， 令f ( x ) i i x ( i ) l p (1) ( 则 f ( x )是l p 上 的 有 界 线 性 泛 函 ， 且 ( i ) f q 事 实 上 ， 由 f ( x ) || i i | | i | | i 1 i 1
i
充 分 性 ， 如 果 L{ x n } 则 ( y , L{ xn }) d 0， 根 据 y ， Hahn- Banach 定 理 的 系 ， 存 在 E *， 满 足 x L{ xn } f ( x ) 0； f 1)
1 2) f ( y ) 1； 3) f ， 特 别 必 存 在f E *， 使f ( xn ) 0( n 1,2,)， d 而f ( y ) 0， 故 若 f E *，f ( xn ) 0 ( n 1,2,) f ( y ) 0 必 有y L{ x n }.
0
E0
0.
如 果 f 0的 保 范 延 拓 不 是 唯 一 ， 的 则 有 f1、f 2 E * 它 们 都 是 0的 保 范 延 拓 f . 则 f1 f 2 f1 f 2 取 f 0
1 E0 E0
2 f0
E0
2 f1 2 f 2
， 则 f1 f 2 1， 而
第九章
则 f1 kf2 .
线性泛函
1 1
1.设 f1，f 2是 线 性 空 间 上 两 个 线 性 泛 函 ， 证 ； 若 f1 (0) f 2 (0)， E 明
如 果 f11 (0) E， 则 f1 f 2 0， 下 设 f11 (0) E， 取x0 E， f 1 ( x0 ) f1 ( x0 ) 0， 依 条 件 f 2 ( x0 ) 0， 令 k ， x E， 令 f 2 ( x0 ) f1 ( x ) x x x0， 则 f1 ( x ) 0， 所 以 f 2 ( x ) 0， 即 f1 ( x0 ) f1 ( x ) f2 ( x) f 2 ( x0 ) 0 f1 ( x0 ) 所 以 f1 ( x ) kf2 ( x ) x E f1 ( x0 ) 即 f1 kf2 ， 其 中k . f 2 ( x0 )