【考点】数列重难点突破之一 【题目】已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。

【答案】()1)12(53112--++++=n n a n a a S()2)12(5332nn a n a a a aS -++++=()()n n na n a a a a S a )12(22221)1(:21132--+++++=---当nn n n a a a S a a )12()1()1(21)1(,121----+=-≠-时 21)1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=+ 当2,1n S a n ==时【分析】已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列12,,,,-n aa a a 对应项积，可用错位相减法求和。

这是典型的差比数列，而错位相减就是针对这种数列最有效的办法【考点】数列重难点突破之二 【题目】已知)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n 试求出n S 【答案】222(2)(2)11111111()(21)(21)(21)(21)(21)(21)221211k k k a k k k k k k k k k k -+===+=+--+-+-+-++ 12)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121++=+-+=+--++-+-+=+++=n n n n n n n n a a a S n n【分析】裂项是很常规的操作手段，高中常见的裂项模型包括21k k+-等，一定要对这些形式做到尽量熟悉，才可能能找到相应的裂项规律。

【考点】数列重难点突破之三 【题目】已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}n n b b -+1是等差数列.⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.【答案】（1）已知212322a a a +++…12n n a -+8n =(n ∈*N ）①2n ≥时，212322a a a +++…2128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②①－②得，128n n a -=，求得42n n a -=， 在①中令1n =，可得得41182a -==，所以42n n a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n nb b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-(4)(2)(28)n =-+-++-2714n n =-+(n ∈*N ）.（2）k k b a -=2714k k -+-42k -，当4k ≥时，277()()24f k k =-+-42k -单调递增，且(4)1f =，所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k -≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈. 【分析】第一问，看到2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. 第二问，可以将把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.数列不是函数，但是函数的几乎所有性质都可以套用到数列上。

【考点】数列重难点突破之四 【题目】数列{}n a 中，122+=n na n .⑴求数列{}n a 的最小项；⑵判断数列{}n a 是否有界，并说明理由. 【答案】⑴ 11)1()1(22221+-+++=-+n n n n a a n n[][][]01)1(12)1(1)1(1)()1()1(2222222>+++=+++++-++=n n n n n n n n ∴1+<n n a a ，∴数列{}n a 是递增数列，数列{}n a 的最小项为211=a .⑵ 1111222<+-=+=n n n a n ，∴数列{}n a 有界. 【分析】第一问可化为判断数列的单调性，即证1+<n na a ，或1+>n n a a ；第二问从“数列的有界性”入手，数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列。

【考点】数列重难点突破之五 【题目】数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++ *()N k ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和nS '. 【答案】（1）由题意：410n n a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-，∴1(1)7[3]22n n n n b n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==.（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n nS b b b n n n -+'=+++==-+当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩. 【分析】我们习惯了通项公式这一说法，但是在一些情况下，通项公式也许是分段的，这种形式我们见得不是很多，但是在考场上，却并不少。

所以一定要多多注意。

【考点】数列重难点突破之六 【题目】已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：221nn n n n b a b a a ++=+，*N n ∈，（1）设n n n a b b +=+11，*N n ∈，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列； （2）设nn n a b b ∙=+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．【答案】（1）∵n n n a b b +=+11，∴1n a +=∴11n n ba ++=。

∴()2222111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00n n a >b >，，∴()()22222nn n n n n a b a b <a b +≤++。

∴11n <a +=≤。

（﹡） 设等比数列{}n a 的公比为q ，由0n a >知0q >，下面用反证法证明=1q若1,q >则212=a a <a q ≤log qn >时，11n n a a q +=【考点】数列重难点突破之七 【题目】已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S . 【答案】(I)由已知得：111510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得17,7a d ==,所以通项公式为7(1)77n a n n =+-⋅=. (II)由277m n a n =≤，得217m n -≤， 即217m m b -=. ∵211217497m k m k b b ++-==， ∴{}m b 是公比为49的等比数列， ∴7(149)7(491)14948m m m S -==--.【分析】数列的最值问题是常考的重点，基本上不外乎两类，一是通项的最值，一是n 项和的最值，两类有不同的特征，需要区别对待【考点】数列重难点突破之八 【题目】已知函数()f x与函数y =(a ＞0)的图象关于x y =对称.(1) 求()f x ;(2) 若无穷数列{}n a 满足1121,n n a S a a a ==++⋅⋅⋅+,且点)n n P S 均在函数()y f x =上,求a 的值,并求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的所有项的和。

【答案】(1)2()1,(0)x f x x a=-≥(2) )n n P S ∵在()y f x =上1111,111111,2n n a aS a a a a a a ∴=-=∴=-∴=-∴=∵ 21n n S a ∴=-,当2n ≥时1121n n S a --=-1122n n n n n S S a a a --∴-==- {}12,n n n a a a -∴=∴等比且公比为2q =,首项为11a = 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等比公比为'12q =,首项为1 ,所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项和为1'1121112aq ==--【考点】数列重难点突破之九 【题目】已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()0,21≠≥⋅=-n n n n S n S S a ，921=a . （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式． 【答案】（1）当2≥n 时，1--=n n n S S a ，∴11--⋅=-n n n n S S S S ，∴()21111≥-=--n S S n n ， ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为等差数列． （2）由（1）知，2211)1()1(111nn S S n -=-⨯-+=， ∴nS n 2112-=．当2≥n 时，)213)(211(4213221121n n n n S S a n n n --=---=-=-，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==)2(,)213)(211(4),1(,92n n n n a n【分析】n a 与n S 同时出现的时候，要么写一个类似的递推式，要么将n a 转为n S ，需要知道的是，n S 既是一个数列的前n 项和，当然其自身也是一个数列，数列的各类性质和算法都同样适用。