2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数三)2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数三）一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
（1）()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()b aM xf x dx=⎰，01[()()]2baN b f x dx a f x dx =+⎰⎰，则必有（ ）（A ）M N ≥；（B ）M N ≤；（C ）M N =；（D ）2M N =； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞内可导，函数()y y x =的图像为则其导数的图像为（ ）xy O(4)设220ln(1)()lim 2x x ax bx x→+-+=，则（ ）（A ）51,2a b ==-；（B ）0,2a b ==-；（C ）50,2a b ==-；（D ）1,2a b ==-(5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）TA x b =，对任何12(,,)Tn b b b b =（A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解；（C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解(6)设,A B 均是n阶可逆矩阵，则行列式1020TA B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值为（A ）1(2)nA B --； （B ）2TA B-； （C ）12A B --； （D ）12(2)nA B --(7)总体~(2,4)X N ，12,,,nX X X 为来自X 的样本，X 为样本均值，则（ ） （A ）2211()~(1)1ni i X X n n χ=---∑； （B ）2211(2)~(1)1ni i X n n χ=---∑； （C ）2212()~()2ni i X n χ=-∑； （D ）221()~()2nii X Xn χ=-∑；(8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ，若概率1()2P aX bY μ-<=则（ ） （A ）11,22a b ==；（B ）11,22a b ==-；（C ）11,22a b =-=；（D ）11,22a b =-=-；二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
把答案填在题中的横线上。
(9)已知3232x y f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，2()arcsin f x x '=，则x dy dx==。
(10) 方程3001()()3x x f x t dt x f t dt-=+⎰⎰满足(0)0f =的特解为 。
(11)2222()Dx y d a b σ+=⎰⎰ 。
其中D 为221x y +≤。
(12)24610(1)1!2!3!x x x x dx -+-+=⎰ 。
(13)设A 是三阶矩阵，已知0,20,30A E A E A E +=+=+=，B与A相似，则B的相似对角形为 。
(14) 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。
三、解答题15~23小题，共94分。
解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)（本题满分10分）设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式22222430u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂。
确定,a b的值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下简化为20uξη∂=∂∂。
(16) （本题满分10分）求幂级数1(1)nn n x ∞=-∑的收敛域及其在收敛域内的和函数；(17) （本题满分10分）设()f x 在[0,)+∞连续，且101()2f x dx <-⎰，()lim0x f x x→+∞=。
证明：至少0,ξ∃∈(+∞)，使得()f ξξ+=0。
(18) （本题满分10分）过椭圆223231x xy y ++=上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
(19) （本题满分10分）设()0()0x f x e xx g x xax b x ⎧--<⎪=⎨⎪+≥⎩，其中()f x 在0x =处二阶可导，且(0)(0)1f f '==。
（I ）a 、b 为何值时()g x 在0x =处连续？ （II ）a 、b 为何值时()g x 在0x =处可导？ (20) （本题满分11分）(21)（本题满分11分）设A 为三阶方阵，123,,ααα为三维线性无关列向量组，且有123A ααα=+，213A ααα=+，312A ααα=+。
求（I ）求A 的全部特征值。
（II ）A 是否可以对角化？（22）（本题满分11分）设,A B 为相互独立的随机事件，已知()(01)P A p p =<<，且A发生B 不发生与B 发生A 不发生的概率相等，记随机变量1, 1, Y00A AB X A AB ⎧⎧==⎨⎨⎩⎩若发生；若发生；，若不发生.，若不发生.（I ）求(,)X Y 的联合分布律；（II ）在0Y =的条件下，求X 的条件分布律； （Ⅲ）计算XYρ.（23）（本题满分11分）设两随机变量(,)X Y 在区域D 上均匀分布，其中{(,):1}D x y x y =+≤，又设U X Y =+，V X Y =-，试求：（I ）U 与V 的概率密度()Uf u 与()Vfv ；（II ）U 与V 的协方差cov(,)U V 和相关系数UVρ数三参考答案二、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
（1） A 解：设0()(),0xF x x f t dt x =>⎰，则()()()()()bab ab f x dx a f x dx F b F a F x dx'+=-=⎰⎰⎰[()()][()()()]bxbxaaf t dt xf x dx xf x tf t dt xf x dx '=+=-+⎰⎰⎰⎰ [()()]2()bbaaxf x xf x dx xf x dx≤-=⎰⎰所以，001()[()()]2bba aM xf x dx b f x dx a f x dx N=≥+=⎰⎰⎰(2)B解：由于函数可导（除0x =）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与x 轴有且仅有两个交点，故A ，C 不正确。
又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D 不正确。
(3)B解：因级数10001n n u∞+=∑是1n n u ∞=∑删除前1000项而得，故当1n n u ∞=∑收敛时，去掉有限项依然收敛，因此10001n n u ∞+=∑收敛， 若1lim 1n n nu u+→∞>，则存在正整数N ，使得n N ≥是，nu 不变号。
若0nu>，有正项级数的比值判别法知nn Nu ∞=∑发散。
同理可知，如果0nu<，则正项级数()nn Nu ∞=-∑发散，因此nn Nu ∞=∑发散。
故②③正确，选B （4）A 解：2200ln(1)()1/(1)(2)lim lim 22x x x ax bx x a bx x x→→+-++-+==，因0lim 0x x →=，则lim1/(1)(2)0x x a bx →+-+=，故1a =。
而22200ln(1)()ln(1)lim lim 2x x x x bx x xb x x→→+-++-=+=，故122b +=-，所以52b =- 【也可以用泰勒公式计算】 （5）A解：0Ax =有非零解，充要条件是()r A n <，由此即可找到答案。
（6）D解：1020T A B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=11202202T T A A B B --⎡⎤-=--⎢⎥-⎣⎦=12(2)nA B--（7）C 解：由于2~(2,2)iX N ，所以2~(0,1)2iX N -故222~(1)2i X χ-⎛⎫ ⎪⎝⎭，2212~()2ni i X n χ=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑（8）B因为aX bY -服从正态分布，股根据题设1()2P aX bY μ-<=知，()()()()E aX bY aE X bE Y a b μμ-=-=-=，从而有1a b -=，显然只有（B ）满足要求。
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
把答案填在题中的横线上。
（9）应填32π。
解：由3232x y f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，2()arcsin f x x '=得 22232323212arcsin()()arcsin()323232(32)dy x x x dx x x x x ---'==++++123arcsin142x dy dxπ===(10)应填()2(1)2xf x x e =+- 解：令x t u -=，原方程变为30001()()()3x x x x f u du uf u du x f t dt-=+⎰⎰⎰方程两边对x 求导得20()()xf u du x f x =+⎰再两边对x 求导得()2()f x x f x '=+，即2dy y x dx-=- [(2)]2(1)dx dxy e x e dx C x C-⎰⎰=-+=++⎰由(0)0y =得2C =-，故()2(1)2xy f x x e ==+-(11)应填2211()4a bπ+ 22222222221()()2DD x y x y x y d d a b a b σσ+++=+=⎰⎰⎰⎰2222111()()2Dx y d a b σ=++⎰⎰2132200111()2d r dra b πθ=+⎰⎰2211()4a bπ=+(12)应填11(1)2e -- 解：因224622223()()(1)[1]1!2!3!1!2!3!x x x x x x x x x xe-----+-+=++++=故 原式22211121000111(1)222xx x xedx e dx e e ----===-=-⎰⎰(13)应填123-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】 解：由0,20,30A E A E A E +=+=+=，知A 的特征值为11231,2,3λλλ=-=-=-，相似矩阵具有相同的特征值，所以B 的特征值也为11231,2,3λλλ=-=-=-，故B 相似的标准形为123-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭(14)应填0.2解：设A ：“所取的两件产品中至少有一件事不合格品”，B ：“所取的两件都是不合格品” 因为226102()1()1(/)3P A P A CC =-=-=，224102()/)15P B CC ==所以()()1()()()5P AB P B P B A P A P A === 三、解答题15~23小题，共94分。