高中数学-等差数列及其前n 项和练习 一、选择题
1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( )
A.14
B.12
C ．2
D ．－12
解析：由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14
，故选A. 答案：A
2．(·陕西西安八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( )
A ．52
B ．78
C ．104
D ．208
解析：依题意得3a 7＝24，a 7＝8，S 13＝13a 1＋a 132
＝13a 7＝104，选C. 答案：C
3．(·武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．3
解析：本题考查等差数列的前n 项和公式．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
4a 1＋6d ＝4，6a 1＋15d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－12，d ＝1，所以S 2＝2a 1＋d ＝0，故选B.
答案：B
4．(·河南许昌二模)已知等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，则a 11等于( )
A ．31
B ．32
C ．61
D ．62
解析：∵等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，
∴a 3＝6＋1＝7，a 5＝6＋7＝13，a 7＝6＋13＝19，
a 9＝6＋19＝25，a 11＝6＋25＝31.故选A.
答案：A
5．(·安徽合肥二模)已知⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( ) A ．－45 B ．－54
C.413
D.134
解析：设⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的公差为d ， ∵a 1＝1，a 4＝4，
∴3d ＝1a 4－1a 1＝－34，即d ＝－14
， 则1a 10＝1a 1＋9d ＝－54，故a 10＝－45
，故选A. 答案：A
6．(·洛阳市第一次统一考试)等差数列{a n }为递增数列，若a 21＋a 210＝101，a 5＋a 6＝11，则数列{a n }的公差d 等于( )
A ．1
B ．2
C ．9
D ．10
解析：由题意得(a 1＋a 10)2－2a 1a 10＝(a 5＋a 6)2－2a 1a 10＝121－2a 1a 10＝101，∴a 1a 10＝10，
又a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝11，a 1<a 10，∴a 1＝1，a 10＝10，d ＝a 10－a 110－1
＝1. 答案：A
7．(·东北四市高考模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )
A ．9
B ．15
C ．18
D ．30
解析：由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
答案：C
8．(·新疆第二次适应性检测)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈”(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布，则第30天比第一天多织布的尺数是( )
A ．19
B ．18
C ．17
D ．16
解析：依题意，织女每天所织布的尺数依次排列形成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝5，S 30＝30a 1＋a 302
＝390，a 1＋a 30＝26，a 30＝26－a 1＝21，a 30－a 1＝16，故选D. 答案：D
9．(·甘肃省五掖市高三第一次考试)等差数列{a n }中，a n a 2n
是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )
A ．{1} B.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫1，12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1 解析：a n a 2n ＝a 1＋n －1d a 1＋2n －1d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n
＝1.∵a 1＝d ≠0，∴a n a 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫1，12. 答案：B
10．(·湖南省五市十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＜0，若存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则当n ＞m 时，S n 与a n 的大小关系是( )
A ．S n ＜a n
B ．S n ≤a n
C ．S n ＞a n
D ．大小不能确定
解析：若a 1＜0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d ＞0，若d ＜0，数列是递减数列，则S m ＜a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1＜0，d ＞0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m ＞0，S m ＞0，又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n ＞a n .故选C.
答案：C
二、填空题
11．(·江苏扬州中学质量检测)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8.若a n ＝0，则n ＝________.
解析：∵a 3＋a 9＝a 10－a 8，∴a 2＋a 10＝a 10－a 8，
∴a 2＋a 8＝0，∴2a 5＝0，∴a 5＝0，则n ＝5.
答案：5
12．(·南昌检测)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数
构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为________．
解析：本题考查等差数列、三角换元的应用．设等差数列x ，a 1，a 2，a 3，y 的公差为d ，则d ＝y －x 4，a 3＝y －d ＝x ＋3y 4
，由x 2＋y 2＝4得x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，则a 2＋a 3＋y ＝3a 3＝3x ＋3y
4＝33sin θ＋cos θ
2＝3102
sin(θ＋φ)，当sin(θ＋φ)＝1时，a 2＋a 3＋y 取得最大值3102
. 答案：3102
13．(·东北三省四市联考)《九章算术》是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问金箠重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问金箠重多少斤？”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是________．
解析：本题考查数学文化、等差数列的通项公式及前n 项和公式．由题意可知金箠由粗
到细各尺的重量成等差数列，且a 1＝4，a 5＝2，则S 5＝5a 1＋a 52
＝15，故金箠重15斤． 答案：15斤
14．(·石家庄模拟)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则{a n }的前100项的和为________．
解析：本题考查函数的图象、等差数列的性质及前n 项和公式．因为函数y ＝f (x －2)的图象关于x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于x ＝－1对称，又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以
S 100＝100a 1＋a 1002
＝50(a 50＋a 51)＝－100. 答案：－100
[能力挑战]
15．(·济南模拟)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？
解析：方法一 由S 3＝S 11得
3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213
a 1. 从而S n ＝d 2n 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 又a 1>0，所以－a 113
<0.故当n ＝7时，S n 最大． 方法二 由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象
关于n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知a ＝－a 113
<0，故当n ＝7时，S n 最大． 方法三 由方法一可知，d ＝－213
a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，
解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大． 方法四 由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0， 故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0， 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大．。