2
2
∴ FH=FG，
∵ ⊥BE，
∴ FH⊥FG，
故答案为相等，垂直．
（2）答：成立，
证明：∵ CE=CD，∠ ECD=∠ ACD=90°，AC=BC，
∴ △ ACD≌ △ BCE ∴ AD=BE，
由（1）知：FH= 1 AD，FH∥ AD，FG= 1 BE，FG∥ BE，
2
2
∴ FH=FG，FH⊥FG，
∴ ∠ ACD=∠ BCE，
在△ ACD 和△ BCE 中
AC＝BC ACD＝BCE ， CE＝CD
∴ △ ACD≌ △ BCE，
∴ AD=BE，∠ EBC=∠ DAC，
∵ ∠ DAC+∠ CXA=90°，∠ CXA=∠ DXB，
∴ ∠ DXB+∠ EBC=90°， ∴ ∠ EZA=180°﹣90°=90°， 即 AD⊥BE， ∵ FH∥ AD，FG∥ BE， ∴ FH⊥FG， 即 FH=FG，FH⊥FG， 结论是 FH=FG，FH⊥FG. 【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定 理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关 键．
2．如图 l，在 AABC 中，∠ ACB=90°，点 P 为 ΔABC 内一点. (1)连接 PB，PC，将 ABCP 沿射线 CA 方向平移，得到 ΔDAE，点 B，C，P 的对应点分别为 点 D、A、E，连接 CE. ①依题意，请在图 2 中补全图形； ②如果 BP⊥CE，BP=3，AB=6，求 CE 的长 (2)如图 3，以点 A 为旋转中心，将 ΔABP 顺时针旋转 60°得到△ AMN，连接 PA、PB、PC， 当 AC=3，AB=6 时，根据此图求 PA+PB+PC 的最小值.
（3）连接 BE、AD，根据全等推出 AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．
试题解析：
（1）解：∵ CE=CD，AC=BC，∠ ECA=∠ DCB=90°，
∴ BE=AD，
∵ F 是 DE 的中点，H 是 AE 的中点，G 是 BD 的中点，
∴ FH= 1 AD，FH∥ AD，FG= 1 BE，FG∥ BE，
在 Rt△ AMG 与 Rt△ ENG 中， ∵ AM=EN，MG=NG， ∴ △ AMG≌ △ ENG， ∴ AG=EG， ∴ EG=CG， （3）（1）中的结论仍然成立，即 EG=CG 且 EG⊥CG。 过 F 作 CD 的平行线并延长 CG 交于 M 点，连接 EM、EC，过 F 作 FN 垂直于 AB 于 N，如图 所示：
∴
，
同理，在 Rt△ DEF 中，
，
∴ CG=EG； （2）（1）中结论仍然成立，即 EG=CG； 连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点，如图所示：
在△ DAG 与△ DCG 中， ∵ AD=CD，∠ ADG=∠ CDG，DC=DC， ∴ △ DAG≌ △ DCG， ∴ AG=CG， 在△ DMG 与△ FNG 中， ∵ ∠ DGM=∠ FGN，DG=FG，∠ MDG=∠ NFG， ∴ △ DMG≌ △ FNG， ∴ MG=NG， 在矩形 AENM 中，AM=EN.，
【答案】（1）①补图见解析；② ；（2） 【解析】 （1）①连接 PB、PC，将△ BCP 沿射线 CA 方向平移，得到△ DAE，点 B、C、P 的对应点分 别为点 D、A、E，连接 CE，据此画图即可；②连接 BD、CD，构造矩形 ACBD 和 Rt△ CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得 CE 的长； （2）以点 A 为旋转中心，将△ ABP 顺时针旋转 60°得到△ AMN，连接 BN，根据△ PAM、 △ ABN 都是等边三角形，可得 PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当 C、P、M、N 四点共射 线，PA+PB+PC 的值最小，此时△ CBN 是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题. 解：（1）①补全图形如图所示；
∴ （1）中的猜想还成立．
（3）答：成立，结论是 FH=FG，FH⊥FG．
连接 AD，BE，两线交于 Z，AD 交 BC 于 X，
同（1）可证
∴ FH= 1 AD，FH∥ AD，FG= 1 BE，FG∥ BE，
2
2
∵ 三角形 ECD、ACB 是等腰直角三角形，
∴ CE=CD，AC=BC，∠ ECD=∠ ACB=90°，
②如图，连接 BD、CD
∵ △ BCP 沿射线 CA 方向平移，得到△ DAE， ∴ BC∥ AD 且 BC=AD， ∵ ∠ ACB=90°， ∴ 四边形 BCAD 是矩形，∴ CD=AB=6， ∵ BP=3，∴ DE=BP=3， ∵ BP⊥CE，BP∥ DE，∴ DE⊥CE，
∴ 在 Rt△ DCE 中，
；
（2）证明：如图所示，
当 C、P、M、N 四点共线时，PA+PB+PC 最小 由旋转可得，△ AMN≌ △ APB， ∴ PB=MN 易得△ APM、△ ABN 都是等边三角形， ∴ PA=PM ∴ PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN， ∴ BN=AB=6，∠ BNA=60°，∠ PAM=60° ∴ ∠ CAN=∠ CAB+∠ BAN=60°+60°=120°， ∴ ∠ CBN=90°
由于 G 为 FD 中点，易证△ CDG≌ △ MFG，得到 CD=FM， 又因为 BE=EF，易证∠ EFM=∠ EBC，则△ EFM≌ △ EBC，∠ FEM=∠ BEC，EM=EC ∵ ∠ FEC+∠ BEC=90°， ∴ ∠ FEC+∠ FEM=90°，即∠ MEC=90°， ∴ △ MEC 是等腰直角三角形， ∵ G 为 CM 中点， ∴ EG=CG，EG⊥CG。 【点睛】本题解题关键是作出辅助线，且利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 的性质、全等三角形的判定和性质，难度较大。
∵ ∠ CABB=∠ EAD=90°，∴ ∠ CAD=∠ BAE．
∵ CA=3，AB=5，AD=6，AE=10，∴ AE = AD =2，∴ △ ABE∽ △ ACD； AB AC
②∵ △ ABE∽ △ ACD，∴ ∠ AEB=∠ CDA． ∵ ∠ AFD=∠ EFG，∠ AFD+∠ CDA=90°，∴ ∠ EFG+∠ AEB=90°，∴ ∠ DGE=90°，∴ DG⊥BE， ∴ ∠ AGD=∠ BGD=90°，∴ CE2=CG2+EG2，BD2=BG2+DG2，∴ BD2+CE2=CG2+EG2+BG2+DG2． ∵ CG2+BG2=CB2，EG2+DG2=ED2，∴ BD2+CE2=CB2+ED2=CA2+AB2+AD2+AD2=170．
【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是 FH=FG， FH⊥FG． 【解析】
试题分析：（1）证 AD=BE，根据三角形的中位线推出 FH= 1 AD，FH∥ AD，FG= 1 BE，
2
2
FG∥ BE，即可推出答案；
（2）证△ ACD≌ △ BCE，推出 AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；
在 Rt△ ABC 中，易得
∴ 在 Rt△ BCN 中， “点睛”本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性 质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和 全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.
3．两块等腰直角三角板△ ABC 和△ DEC 如图摆放，其中∠ ACB=∠ DCE=90°，F 是 DE 的中 点，H 是 AE 的中点，G 是 BD 的中点． （1）如图 1，若点 D、E 分别在 AC、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想 FH 和 FG 的 数量关系为______和位置关系为______； （2）如图 2，若将三角板△ DEC 绕着点 C 顺时针旋转至 ACE 在一条直线上时，其余条件均 不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由； （3）如图 3，将图 1 中的△ DEC 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，得到图 3，（1）中的猜想还 成立吗？直接写出结论，不用证明．
【答案】解：（1）CG=EG （2）（1）中结论没有发生变化，即 EG=CG． 证明：连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点．
在△ DAG 与△ DCG 中， ∵ AD=CD，∠ ADG=∠ CDG，DG=DG， ∴ △ DAG≌ △ DCG． ∴ AG=CG． 在△ DMG 与△ FNG 中， ∵ ∠ DGM=∠ FGN，FG=DG，∠ MDG=∠ NFG， ∴ △ DMG≌ △ FNG． ∴ MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN． 在 Rt△ AMG 与 Rt△ ENG 中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △ AMG≌ △ ENG． ∴ AG=EG
【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD，理由见角；（2）①证明见解析；②BD2+CE2=170． 【解析】 【分析】 （1）结论：BE=CD，BE⊥CD；只要证明△ BAE≌ △ CAD，即可解决问题； （2）①根据两边成比例夹角相等即可证明△ ABE∽ △ ACD． ②由①得到∠ AEB=∠ CDA．再根据等量代换得到∠ DGE=90°，即 DG⊥BE，根据勾股定理 得到 BD2+CE2=CB2+ED2，即可根据勾股定理计算． 【详解】 （1）结论：BE=CD，BE⊥CD． 理由：设 BE 与 AC 的交点为点 F，BE 与 CD 的交点为点 G，如图 2．
∵ ∠ CAB=∠ EAD=90°，∴ ∠ CAD=∠ BAE．
AB AC 在△ CAD 和△ BAE 中，∵ BAE CAD ，∴ △ CAD≌ △ BAE，∴ CD=BE，