第十四章波动14-1 一横波再沿绳子传播时得波动方程为[]x m t s m y )()5.2(cos )20.0(11---=ππ。

（1）求波得振幅、波速、频率及波长；（2）求绳上质点振动时得最大速度；（3）分别画出t=1s 和t=2s 时得波形，并指出波峰和波谷。

画出x=1.0m 处质点得振动曲线并讨论其与波形图得不同。

14-1 ()[]x m t s m y )(5.2cos )20.0(11---=ππ分析（1）已知波动方程（又称波函数）求波动的特征量（波速u 、频率ν、振幅A 及彼长 等），通常采用比较法。

将已知的波动方程按波动方程的一般形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=0cos ϕωu x t A y μ书写，然后通过比较确定各特征量（式中前“－”、“＋”的选取分别对应波沿x 轴正向和负向传播）。

比较法思路清晰、求解简便，是一种常用的解题方法。

（2）讨论波动问题，要理解振动物理量与波动物理量之间的内在联系与区别。

例如区分质点的振动速度与波速的不同，振动速度是质点的运动速度，即dt dy v =；而波速是波线上质点运动状态的传播速度（也称相位的传播速度、波形的传播速度或能量的传播速度），其大小由介质的性质决定。

介质不变，彼速保持恒定。

（3）将不同时刻的t 值代人已知波动方程，便可以得到不同时刻的波形方程)(x y y =，从而作出波形图。

而将确定的x 值代入波动方程，便可以得到该位置处质点的运动方程)(t y y =，从而作出振动图。

解（1）将已知波动方程表示为()()[]115.25.2cos )20.0(--⋅-=s m x t s m y π 与一般表达式()[]0cos ϕω+-=x t A y 比较，可得0,5.2,20.001=⋅==-ϕs m u m A则 m v u Hz v 0.2,25.12====λπω（2）绳上质点的振动速度()()()[]1115.25.2sin 5.0---⋅-⋅-==s m x t s s m dt dy v ππ 则1max 57.1-⋅=s m v（3） t=1s 和 t ＝2s 时的波形方程分别为()[]x m m y 115.2cos )20.0(--=ππ()[]x m m y 125cos )20.0(--=ππ 波形图如图14－1（a ）所示。

x ＝1.0m 处质点的运动方程为()t s m y 15.2cos )20.0(--=π 振动图线如图14－1（b ）所示。

波形图与振动图虽在图形上相似，但却有着本质的区别前者表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况，而后者则表示某确定位置的时间变化的情况。

14-2 波源作简谐运动，其运动方程为t s m y )240cos()100.4(13--⨯=π，它所形成得波形以30m/s 的速度沿一直线传播。

（1）求波的周期及波长；（2）写出波的方程。

14-2 t s m y )240cos()100.4(13--⨯=π分析 已知彼源运动方程求波动物理量及波动方程，可先将运动方程与其一般形式()0cos ϕω+=t A y 进行比较，求出振幅地角频率ω及初相0ϕ，而这三个物理量与波动方程的一般形式()[]0cos ϕω+-=u x t A y 中相应的三个物理量是相同的。

再利用题中已知的波速U及公式T /22ππνω==和uT =λ即可求解。

解（1）由已知的运动方程可知，质点振动的角频率1240-=s πω。

根据分析中所述，波的周期就是振动的周期，故有s T 31033.8/2-⨯==ωπ波长为m uT 25.0==λ(2)将已知的波源运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得0240100.4013==⨯=--ϕπω，，s m A故以波源为原点，沿X 轴正向传播的波的波动方程为 ()[]])8()240cos[()100.4(cos 1130x m t s m x t A y ----⨯=+-=ππϕω14-3 以知以波动方程为])2()10sin[()05.0(11x m t s m y ---=π。

（1）求波长、频率、波速和周期；（2）说明x=0时方程的意义，并作图表示。

14-3])2()10sin[()05.0(11x m t s m y ---=π分析采用比较法。

将题给的波动方程改写成波动方程的余弦函数形式，比较可得角频率。

、波速U ，从而求出波长、频率等。

当x 确定时波动方程即为质点的运动方程)(t y y =。

解（1）将题给的波动方程改写为]2/)5/)(10sin[()05.0(11πππ-⋅-=--s m x t s m y 与()[]0cos ϕω+-=u x t A y 比较后可得波速 角频率110-=s πω，故有m uT s T Hz 14.32.0/10.52/======λνπων，，（2）由分析知x=0时，方程表示位于坐标原点的质点的运动方程（图13—4）。

]2/)10cos[()05.0(1ππ-=-t s m y14-4 波源作简谐振动，周期为，若该振动以100m/s 的速度传播，设t=0时，波源处的质点经平衡位置向正方向运动，求：（1）距离波源15.0m 和5.0m 两处质点的运动方程和初相；（2）距离波源16.0m 和17.0m 两处质点的相位差。

14-4分析（1）根据题意先设法写出波动方程，然后代人确定点处的坐标，即得到质点的运动方程。

并可求得振动的初相。

（2）波的传播也可以看成是相位的传播。

由波长A 的物理含意，可知波线上任两点间的相位差为λπϕ/2x ∆=∆。

解（1）由题给条件 T ＝ s ，u ＝100 m ·s －l ，可得m uT s T 2100/21====-λππω；当t ＝0时，波源质点经平衡位置向正方向运动，因而由旋转矢量法可得该质点的初相为）或2/3(2/0ππϕ-=。

若以波源为坐标原点，则波动方程为]2/)100/)(100cos[(11ππ-⋅-=--s m x t s A y距波源为 x 1=和 x 2＝处质点的运动方程分别为]5.15)100cos[(11ππ-=-t s A y]5.5)100cos[(12ππ-=-t s A y它们的初相分别为πϕπϕ5.55.152010-=-=和（若波源初相取2/30πϕ=,则初相πλπϕϕϕ=-=-=∆/)(21221x x ，。

） （2）距波源 16.0 m 和 17.0 m 两点间的相位差πλπϕϕϕ=-=-=∆/)(22121x x14-5 波源作简谐振动，周期为×10-2s ，以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，若此振动以u=400m/s 的速度沿直线传播。

求：（1）距离波源8.0m 处质点P 的运动方程和初相；（2）距离波源9.0m 和10.0m 处两点的相位差。

14-5解分析同上题。

在确知角频率1200/2-==s T ππω、波速1400-⋅=s m u 和初相）或2/(2/30ππϕ-=的条件下，波动方程 ]2/3)400/)(200cos[(11ππ+⋅-=--s m x t s A y位于 x P = m 处，质点 P 的运动方程为]2/5)(200cos[(1ππ-=-t s A y p该质点振动的初相2/50πϕ-=P 。

而距波源 m 和 m 两点的相位差为2//)(2/)(21212ππλπϕ=-=-=∆uT x x x x如果波源初相取2/0πϕ-=，则波动方程为]2/9)(200cos[(1ππ-=-t s A y质点P 振动的初相也变为2/90πϕ-=P ，但波线上任两点间的相位差并不改变。

14-6 有一平面简谐波在介质中传播，波速u=100m/s ，波线上右侧距波源O （坐标原点）为75.0m 处的一点P 的运动方程为]2/)2cos[()30.0(1ππ+=-t s m y p 。

求（1）波向x 轴正方向传播时的波动方程；（2）波向x 轴负方向传播时的波动方程。

14-6]2/)2cos[()30.0(1ππ+=-t s m y p分析在已知波线上某点运动方程的条件下，建立波动方程时常采用下面两种方法：（1）先写出以波源O 为原点的波动方程的一般形式，然后利用已知点P 的运动方程来确定该波动方程中各量，从而建立所求波动方程。

（2）建立以点P 为原点的波动方程，由它来确定波源点O 的运动方程，从而可得出以波源点O 为原点的波动方程。

解1（1）设以波源为原点O ，沿X 轴正向传播的波动方程为()[]0cos ϕω+-=x t A y将 u ＝100 m ·s －‘代人，且取x 二75 m 得点 P 的运动方程为()[]075.0cos ϕω+-=s t A y p与题意中点 P 的运动方程比较可得 A ＝、12-=s πω、πϕ20=。

则所求波动方程为)]100/)(2cos[()30.0(11--⋅-=s m x t s m y p π(2)当沿X 轴负向传播时，波动方程为()[]0cos ϕω++=u x t A y将 x ＝75 m 、1100-=ms u 代人后，与题给点 P 的运动方程比较得A ＝ 、12-=s πω、πϕ-=0，则所求波动方程为])100/)(2cos[()30.0(11ππ-⋅+=--s m x t s m y解2（1）如图14一6（a ）所示，取点P 为坐标原点O ’，沿O ’x 轴向右的方 向为正方向。

根据分析，当波沿该正方向传播时，由点P 的运动方程，可得出以 O ’（即点P ）为原点的波动方程为]5.0)100/)(2cos[()30.0(11ππ+⋅-=--s m x t s m y将 x=-75 m 代入上式，可得点 O 的运动方程为t s m y O )2cos()30.0(1-=π由此可写出以点O 为坐标原点的波动方程为)]100/)(2cos[()30.0(11--⋅-=s m x t s m y π（2）当波沿河X 轴负方向传播时。

如图14－6（b ）所示，仍先写出以O ’（即点P ）为原点的波动方程]5.0)100/)(2cos[()30.0(11ππ+⋅+=--s m x t s m y将 x=-75 m 代人上式，可得点 O 的运动方程为])2cos[()30.0(1ππ-=-t s m y O则以点O 为原点的波动方程为])100/)(2cos[()30.0(11ππ-⋅+=--s m x t s m y讨论对于平面简谐波来说，如果已知波线上一点的运动方程，求另外一点的运动方程，也可用下述方法来处理：波的传播是振动状态的传播，波线上各点（包括原点）都是重复波源质点的振动状态，只是初相位不同而已。

在已知某点初相平0的前提下，根据两点间的相位差λπϕϕϕ/2'00x ∆=-=∆，即可确定未知点的初相中小14-7 图14-7为平面简谐波在t=0时的波形图，设此简谐波的频率为250Hz ，且此时图中质点P 的运动方向向上。