参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

例5：将下列数方程化成普通方程．①22()2x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数， ②2221()21x t t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数，③22211()21t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数， ④1()()1()x a t tt y b t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，⑤⎩⎨⎧+=+-=11mx y my x ， ⑥)0,(.sin ,cos >>⎩⎨⎧==b a b y a x 为参数ααα ， ⑦⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ()θ为参数， ⑧)(.cos21y ,cos x 为参数θθθ⎩⎨⎧+== 3．圆的参数设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数。

这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。

圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=， 它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数。

4．椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b+=>>其参数方程为cos ()sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）。

注：椭圆的参数方程中，参数ϕ的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。

但当02πα≤≤时，相应地也有02πϕ≤≤，在其他象限内类似。

5．双曲线的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),x y a b a b-=>>其参数方程为sec ()tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中3[0,2),.22ππϕπϕϕ∈≠≠且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22221(0,0),y x a b a b-=>>其参数方程为cot ((0,2).csc x b e y a ϕϕϕπϕπϕ=⎧∈≠⎨=⎩为参数，其中且 以上参数ϕ都是双曲线上任意一点的离心角。

6．抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)y px p =>的参数方程为22().2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数 7．直线的参数方程经过点000(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线l 的普通方程是00tan (),y y x x α-=-而过000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数。

注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点(,)M x y 为终点的有向线段0M M 的数量，当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。

我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。

①设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为A B t t 、，则AB ＝A B t t -＝②线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． ②椭圆)(.3sin y ,5cos x 为参数θθθ⎩⎨⎧==的焦点坐标是_________________________.③双曲线)t (.t 1t y ,t 1t x 为参数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=的离心率是_________________________.15.曲线)(.sin y ,cos 1x 为参数θθθ⎩⎨⎧=+=上的点与定点A（-1，-1）距离的最小值是_____________. 16. 已知369y 4x 22=+，则y 32x -的最小值是_________________.17．点M （x,y ）在椭圆14y 12x 22=+上，则点M 到直线04y x =-+的最大距离为________,此时，点M 的坐标是_____________.例1.讨论下列问题：1、已知一条直线上两点()111,y x M 、()222,y x M ，以分点M （x ，y ）分21M M 所成的比λ为参数，写出参数方程。

2、直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 211233(t 为参数)的倾斜角是3、方程⎩⎨⎧+=+-=ααsin 3cos 1t y t x （t 为非零常数，α为参数）表示的曲线是 ( )4、已知椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x （θ为参数），则椭圆上一点 P (25，32-)的离心角可以是 A ．3πB ．32πC ．34πD ．35π 例2 把弹道曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=,21sin ,cos 200gt t v y t v x αα )2()1(化成普通方程． 例4. 直线3x －2y ＋6=0，令y = tx ＋6（t 为参数）．求直线的参数方程． 例5.已知圆锥曲线方程是⎩⎨⎧-+-=++=5sin 461cos 532ϕϕt y t x （1）若t 为参数，ϕ为常数，求该曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离； （2）若ϕ为参数，t 为常数，求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。

例6. 在圆x 2＋2x ＋y 2=0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5=0的距离最大．例7. 在椭圆4x 2＋9y 2=36上求一点P ，使它到直线x ＋2y ＋18=0的距离最短（或最长）．例8.已知直线；l ：⎩⎨⎧+=--=ty t x 4231与双曲线（y-2）2-x 2=1相交于A 、B 两点，P 点坐标P(-1，2)。

求：（1）|PA|.|PB|的值； （2）弦长|AB|; 弦AB 中点M 与点P 的距离。

例9.已知A （2,0）,点B,C 在圆x 2+y 2=4上移动，且有π32=∠BAC 求ABC ∆重心G 的轨迹方程。

例10.已知椭圆183222=+y x 和圆x 2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P 1,在圆上求一点 P 2,使|P 1P 2|达到最大值，并求出此最大值。

例11.已知直线l 过定点P(-2,0),与抛物线C: x 2+ y-8=0相交于A 、B 两点。

（1）若P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（2）若l 绕P 点转动，求AB 的中点M 的方程.例12.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上是否存在点P ，使得由P 点向圆x 2+y 2=b 2所引的两条切线互相垂直若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

四、全国历届高考试题选编：1．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27- 2.在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为（ ）A.ρθ=22cosB.ρθ=-22c o sC.ρθ=22sinD.ρθ=-22s i n 3.极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝ 12的图形是( )A. B. C. D.4.极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是（ ）A ．两条相交直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线5．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2，π/6)到直线l 的距离为 ．6．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2错误!x0错误!x0错误!错误!7.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33R t ty t x ∈⎩⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 .8． ⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．(Ⅰ)把⊙O 1和⊙O 2化为直角坐标方程；(Ⅱ)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．五、模拟试题选编：1．在极坐标系中，已知点A （1，43π）和B )4,2(π,则A 、B 两点间的距离是 ． 2． 将极坐标方程cos()4πρθ=-化为直角坐标方程是_____________.3.在极坐标系中，过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．4.在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ 的距离的最小值是 _____ ．5．在极坐标系中，圆ρ=cos θ与直线ρcos θ=1的位置关系是 ．6．椭圆⎩⎨⎧==θθsin 4cos 3y x 的离心率是_______．14．在极坐标系中，曲线sin a ρθ=与θρcos a =（a>0，0,0ρθπ>≤<）的交点的极坐标为14．在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．14.极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是下列图形中的（依次．．填写序号） ** ．①直线；②圆；③抛物线；④椭圆；⑤双曲线. 【答案】②;①.1．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t.(t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为(B)A ．－45B ．－35C ．35D ．452．已知动圆方程x 2＋y 2－xsin2θ＋22·ysin(θ＋π4)＝0 (θ为参数)，那么圆心的轨迹是(D)A ．椭圆B ．椭圆的一部分C ．抛物线D ．抛物线的一部分 3．在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为( D)A ．24．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，π6)作曲线C 的切线，则切线长为( C )A ．4 C ．2 2 D ．235．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cosθy ＝sinθ(θ为参数)有唯一的公共点，则实数k ＝( C )A ．33B ．－33C ．±33D ．36．如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cosθy ＝a ＋2sinθ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－22，0)B ．(0,22)C ．(－22，0)∪(0,22)D ．(1,22) 7．在极坐标系中，直线l 1的极坐标方程为ρ(2cosθ＋sinθ)＝2，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t y ＝2＋kt (t 为参数)，若直线l 1与直线l 2垂直，则k ＝________.－18．已知定点A(1,0)，F 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosθy ＝1＋cos2θ(θ∈R)的焦点，则|AF|＝9．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M 、N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为10．(10分)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cosθy ＝2sinθ，直线l ：ρ(cosθ－2sinθ)＝12.(1)将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点P 在曲线C 上，求点P 到直线l 的距离的最小值．11．(15分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22ty ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sinθ.(1)求圆C 的直角坐标方程；x 2＋(y －5)2＝5.(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B.若点P 的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|. 3 2. 12．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cosαy ＝sinα(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；P 在直线l(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．2 13.在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos 0,,sin 22x t t y t αππαπα=-+⎧⎛⎫⎡⎫⎛⎫∈⎨⎪ ⎪ ⎪⎢= ⎣⎭⎝⎭⎝⎭⎩为参数,，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 和直线l 交于,A B 两点，且AB =tan α的值.14.已知曲线C 的极坐标方程为： 22cos 4sin 10ρρθρθ-++=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 经过点P （-1，1）且倾斜角为 23π (I)写出直线 l 的参数方程和曲线C 的普通方程；(Ⅱ)设直线 l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求 PA PB ⋅的值15.C 的参数方程1cos ()sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，（1）求圆C 的极坐标方程，（2）射线:4OM πθ=与圆C 的交点为,O P 两点，求点P 的极坐标。