函数的基本性质
教学目标
1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。
（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。
重点与难点
（1）判断或证明函数的单调性；
（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。
教学过程 一、
函数的单调性
1．单调函数的定义
（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当
1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数
()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。
2、单调性的判定方法 （1）定义法：
判断下列函数的单调区间：2
1x y =
（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：
设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在
],[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的
单调性相反时则复合函数为增减函数。
也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间
为 ．
（2）5
412
+-=
x x y 的单调递增区间为 ．
3、函数单调性应注意的问题：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数 4．例题分析 证明：函数1
()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数。
证明：设任意1x ，2x ∈（0，+∞）且12x x <， 则21
121212
11()()x x f x f x x x x x --=
-=， 由1x ，2x ∈（0，+∞），得120x x >，又12x x <，得210x x ->， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >
所以，1
()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数。
说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：x
y 1
=
不能说 )0,(-∞Y ),0(+∞是原函数的单调递减区间；
练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数3
()1f x x =+的单调性。
2．根据单调函数的定义，判断函数()f x =
二、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义：
（1）偶函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有
()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。
例如：函数2()1f x x =+,
4()2f x x =-等都是偶函数。
（2）奇函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有
()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。
例如：函数x x f =)(，x
x f 1
)(=
都是奇函数。
（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。
说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；
（2） ()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()f x -，看是等于()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
（4）函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足
)()(x f x f -=也满足)()(x f x f --=。
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。
偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
（6）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． 2、函数的奇偶性判定方法 （1）定义法 （2）图像法 （3）性质罚 3．例题分析：
判断下列函数的奇偶性：
（1）()||f x x =（ ） （2）()f x =（ ）
说明：在判断()f x -与()f x 的关系时，可以从()f x -开始化简；也可以去考虑
()()f x f x +-或()()f x f x --；当()f x 不等于0时也可以考虑
()
()
f x f x -与1或1-的关系。
五．小结：1．函数奇偶性的定义； 2．判断函数奇偶性的方法；
3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。
三、函数的最大值或最小值 1．最大值的定义：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ⑴对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；
⑵存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值． 2
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．
仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义． 3．例题分析：
例4．（教材P 35例4）求函数1
2
-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：（略）
巩固练习：（教材P 36练习5）
基础练习：
一、选择题、每个题目中，只有一个选项是正确的。
1、函数f(x)=x-2 +2-x 是（ C ）
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、既是奇函数又是偶函数
D 、非奇非偶函数2．在区间)0,(-∞上为增函数的是
（B ） A ．1=y
B ．21+-=
x
x
y C ．122
---=x x y
D ．2
1x y +=
3．函数c bx x y ++=2
))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围
（ B ） A ．2-≥b
B ．2-≤b
C ．2->b
D ． 2-<b
4．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有
（ A ）
A ．最大值
B ．最小值
C ．没有最大值
D ． 没有最小值
5．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是
（ C ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2
＋1
C ．y =
x
2
D ．y =2x 2＋x ＋1
6．函数y =(x －1)-2
的减区间是_（_1，＋∞）。