(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
→
→
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，|AP|
D(0，
3，0)，E 0，
3
1
→
为单位长，建立空间直角坐标系
A-xyz，则
2
，2
，AE＝
3
1
0，2
，2.
→
3，0)．
设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，3，0)，AC＝(m，
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝
3，求三棱锥E-ACD的体积．
3.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝
3，求三棱锥E-ACD的体积．
图1-3
2，解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.
所以BC⊥平面CMD ,故BC⊥DM .
因为M为?
CD上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM .
又BCICM=C,所以DM⊥平面BMC .
而DM平面AMD ,故平面AMD⊥平面BMC.
uuur
（2）以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz.
当三棱锥M?ABC体积最大时，M为?的中点.
∴
AB
⊥
AD
，
则
四
边
形
ABCD
为
矩
形
，
在△APD
中 ， 由
PA=PD，∠APD=90°， 可 得
△PAD
0.
即
0.
AB
2 y
可取n(1,0,2).
uuur
DA是平面MCD的法向量,因此
uuur
uuur
5
n DA
cos n, DA
uuur
，
| n || DA |
5
uuur
2 5，
sin n, DA
5
所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是
2
5.
5
2、[2014·新课标全国卷 Ⅱ]如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥
（Ⅱ）求二面角BD AC的正弦值．
8.（动点问题）（2018年II卷）如图，在三棱锥P
ABC中，AB
BC22，
PA PB PC AC
4，O为AC的中点．
P
（1）证明：PO
平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA
C为
30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
O
AC
M
B
近几年高考理科立体几何大题汇编
1.（2018年III卷）如图，边长为2的正方形ABCD
所在的平面与半圆弧?所在平面垂直，是?上异
CDMCD
于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
1.解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD .因为BC⊥CD,BC平面ABCD,
3.【答案】（1）证明：∵∠
BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，
PD
⊥
CD
，
∵
AB
∥
CD
，
∴
AB
⊥
PD
，
又
∵
PA∩PD=P
，
且
PA?
平
面
PAD
，
PD?
平
面
PAD
，
∴
AB
⊥
平
面
PAD
，
又
AB?
平
面
PAB
，∴平ຫໍສະໝຸດ 面PAB⊥
平
面
PAD
；
（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形
ABCD为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，
CD
由题设得D (0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C (0,2,0), M (0,1,1)，
uuuuruuuruuur
AM( 2,1,1), AB(0, 2,0), DA(2,0,0)
设n ( x, y, z)是平面MAB的法向量,则
n
uuuur
0,
2x
y z 0,
AM
n
uuur
E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面
AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
6.（翻折）(2018年I卷)如图，四边形ABCD为正方形，E, F分别为AD, BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF BF.
4.（菱形建系）[2014新·课标全国卷Ⅰ]如图三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.
(1)证明：AC＝AB1；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A -A1B1-C1的余弦值．
5.（菱形建系）【2015高考新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，
设n1＝ ，
，
z)
为平面
ACE
的法向量，
(x y
→
mx＋
3y＝0，
n1·AC＝0，
即3
则
1
→
2y＋2z＝0，
n1·AE＝0，
可取n1＝m3，－1，3 .
又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝12，即
3
1
3
.
2＝ ，解得m＝
3＋4m
2
2
因为E为PD的中点，所以三棱锥
E-ACD的高为
1三棱锥
E-ACD
的体积
V
＝1×
2.
3
13 1 32×3×2×2＝8.
3.（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥
P﹣ABCD中，
AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C
的余弦值．
近几年高考理科立体几何大题汇编
1.（2018年
III
卷）如图，边长为
2的正方形
ABCD
所在的平面与半圆弧
CD?
所在平面垂直，
M是CD?
上异
于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
2、[2014·新课标全国卷 Ⅱ]四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：平面PEF平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
7.（翻折）（2016年全国II高考）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，
AB
5, AC
6，点
E, F
分别在
AD ,CD
上，
AE
CF
5，
EF
交
BD
于点
H．将
4
DEF沿EF折到D'EF位置，OD10．
（Ⅰ）证明：D H平面ABCD；