章末检测一、选择题1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 D解析 (cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)＝cos 2 π12－sin 2π12＝cos π6＝32.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是()A ．x ＝π4 B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2答案 C解析 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤(2x ＋π3)－(x －π6)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x＝cos x ，当x ＝π时，y ＝－1.3．已知sin(α＋45°)＝55，则sin 2α等于( )A ．－45 B ．－35 C.35 D.45答案 B解析 sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝55，∴sin α＋cos α＝105.两边平方，得1＋sin 2α＝25，∴sin 2α＝－35.4．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12C.⎣⎡⎦⎤5π12，13π12 D.⎣⎡⎦⎤π3，5π6答案 B解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3－sin 2x ＝－12sin 2x －32cos 2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递减区间，π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤π12，7π12.故选B.5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是() A.43 B.34 C.53 D.12答案 A解析 ∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 所以22<sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，所以1<sin θ＋cos θ≤ 2.6．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 B解析 sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°)＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)＝－cos(73°＋47°)＝－cos 120°＝12.7．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位 D ．向左平移π12个单位 答案 C解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin(3x ＋π4) ＝2sin[3(x ＋π12)]，又y ＝2cos 3x ＝2sin(3x ＋π2) ＝2sin[3(x ＋π6)]，所以应由y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到． 8．已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为( ) A.1010 B ．－1010 C.31010D ．－31010答案 C 解析 设这个等腰三角形的顶角为2α，底角为β，则2α＋2β＝π且cos 2α＝45，∴α＋β＝π2. ∴sin β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝1＋cos 2α2＝31010. 9．在△ABC 中，已知tan A ＋B 2＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B 2，∴2cos 2A ＋B 2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，△ABC 为直角三角形． 10．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 C解析 ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )， ∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋C ＝1.∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋C ＝12， ∴π6＋C ＝5π6或π6＋C ＝π6(舍去)，∴C ＝2π3. 二、填空题 11.3tan 15°＋13－tan 15°的值是 ． 答案 1解析 ∵3－tan 15°3tan 15°＋1＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15° ＝tan 45°＝1， ∴3tan 15°＋13－tan 15°＝1. 12．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝ .答案 k π－π4，k ∈Z 解析 (tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1. 即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z . 13．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为 ．答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin [(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin [(x ＋φ)－φ]＝sin x ，∴f (x )的最大值为1.14．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列说法： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确说法的序号是 ．(注：把你认为正确的说法的序号都填上) 答案 ①②③解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋13π24(k ∈Z )， k ＝0时，π24≤x ≤13π24，所以③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 三、解答题15．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x的值． 解 sin 2x －2sin 2x 1－tan x＝cos x ·2sin x (cos x －sin x )cos x －sin x＝sin 2x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋1＝－2×925＋1＝725. 16．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R . 因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73. 17．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ，sin B ＝45，cos(2A ＋C )＝－45，求cos 2A 的值．解 ∵A <B <C ，A ＋B ＋C ＝π，∴0<B <π2，A ＋C >π2，0<2A ＋C <π. ∵sin B ＝45，∴cos B ＝35. ∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45， cos(A ＋C )＝－35. ∵cos(2A ＋C )＝－45， ∴sin(2A ＋C )＝35. ∴sin A ＝sin [(2A ＋C )－(A ＋C )]＝35×⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－45×45＝725.∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝527625. 18．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22， 所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z .。