梁的小挠度微分方程及其积分
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解： 2． 分段建立梁的弯矩方程
于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为
AB段M1x Nhomakorabea3 4
FP x
0
x
l 4
BC段
M2
x
3 4
FP x－FP
x－ l 4
l 4
x
l
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
M1
x
3 4
FP x
梁的小挠度微分方程及其积分
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EIw' EI 1 q l x3 C
6
EIw 1 q l x4 Cx D
24
C ql3 , 6
D ql3 24
解： 5． 确定挠度与转角方程
w
q 24EI
l
x4
4l 3 x
l
4
q 6EI
l
x3
l
3
第8章 弯曲刚度
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机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时 (图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的 挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合， 以致不能正常工作。
同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动 的过程中产生很大的噪声。
此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也 将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大 大增加，降低轴和轴承的使用寿命。
2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。
在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
第8章 弯曲刚度
d2w M dx 2 EI
d2w M dx2 EI
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
采用向下的w坐标系，有
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d2w M dx2 EI
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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小挠度微分方程
例题 1
已知：左端固定、右端自 由的悬臂梁承受均布载荷。 均布载荷集度为q ，梁的弯曲
刚度为EI 、长度为l。q、EI 、
l均已知。
求：梁的弯曲挠度与转角 方程，以及最大挠度和最大转 角。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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O
x
w
解：1．建立Oxw坐标系 建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分
梁的曲率与位移 挠度与转角的相互关系 梁的位移分析的工程意义
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
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梁的曲率与位移
在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕 中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线， 这一曲线称为梁的挠度曲线（deflection curve）。
d2w M
dx2 EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程
M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠
度方程与转角方程：
dw dx
l
M x
EI
dx
C
w
l
l
M x
EI
dx
dx
Cx
D
其中C、D为积分常数。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即 无需分段。
2．建立梁的弯矩方程
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
解：2．建立梁的弯矩方程
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x
M(x)
FQ(x)
从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束 力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以 考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：
在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，
θ＝0。
连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲 成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布
载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1= w2，θ1＝ θ2等等。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shans Education & Teaching Studio
清华大学 范钦珊
范钦珊教育与教学工作室
工程力学(静力学与材料力学）
课堂教学软件(4)
2020年6月3日
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工程力学（静力学与材料力学）
小挠度微分方程
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
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力学中的曲率公式
1M
EI
数学中的曲率公式
d2w
1
dx 2
3
1
dw
2
2
dx
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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小挠度微分方程
小挠度情形下
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
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在Oxw坐标系中，挠度与转角存 在下列关系：
dw tan
dx
在小变形条件下，挠度曲线较为
平坦，即很小，因而上式中tan。
于是有
dw
dx w＝ w（x），称为挠度方程（deflection equation）。
第8章 弯曲刚度
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
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梁的曲率与位移
根据上一章所得到的结果， 弹性范围内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横截面上的 弯矩、弯曲刚度之间存在下列 关系：
1＝M
EI
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
挠度与转角的相互关系
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EIw' EI 1 q l x3 C
6
EIw 1 q l x4 Cx D
24
解： 4． 利用约束条件确定积分常数
固定端处的约束条件为： x 0，w 0 x 0， = dw 0 dx
C ql3 , 6
D ql3 24
第8章 弯曲刚度
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
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在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是 限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度 失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如， 各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的 板条叠合而成，采用这种结构，钣簧既可以承受很 大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变 形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到 抗振和抗冲击的效果。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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解： 3． 将弯矩表达式代入小挠 度微分方程并分别积分
EI
0
x
l 4
M2
x
3 4
FP x－FP
x－ l 4
l 4
x
l
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解： 3． 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分
EI
d 2 w1 dx2
M1
x
3 4
FP x
0
x
l 4
EI
d 2 w2 dx2
＝－M 2
x
－
3 4
FP
x＋FP
x－
l 4
l 4
x
l
梁的小挠度微分方程及其积分
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w
q 24EI
l
x4
4l 3 x
l4
q 6EI
l
x3
l
3
解： 6． 确定最大挠度与最大转角
从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和 转角均为最大值。
于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得
到：
wmax
wB
ql 4 8EI
小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是 指约束对于挠度和转角的限制：
在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于 零：w=0;
max
B
ql 3 6EI
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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例题 2
已知：简支梁受力如
图所示。FP、EI、l均为已
知。求：加力点B的挠度和
支承A、C处的转角。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。
第二篇 材料力学
第8章 弯曲刚度
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