(1) y 1 x2 与 x2y28(两部分都要计算) 2
解
A1 202(
8
x2
1 2
x2)dx
202
8 x2 dx 02x2dx 202
8 x2 dx 8 3
1604
cos2 tdt
8 3
2
4 3
A2 (2
2)2
S1
6
4 3
(2) y 1 与直线 yx 及 x2 x
解
所求的面积为
A
02(x
3
dt
2
3 1 dt 1 1 ln
2 t2 1
2
3 2
22 计算曲线 y x (3 x) 上相应于 1x3 的一段 3
弧的长度
解 y x 1 x x y 1 1 x
3
2x 2
y2 1 1 1 x 1 y2 1 ( x 1 )
4x 2 4
2
x
所求弧长为
s 1
3
(
x
1 )dx 1 (2 x
h
截面的面积为 (A A a y)(B B b y)
h
h
于是截锥体的体积为
V
h
(A
A
a
y)(B
B
b
y)dy
1h[2(ab
AB)
aB
bA]
0
h
h
6
18 计算底面是半径为 R 的圆 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角 形的立体体积
解 设过点 x 且垂直于 x 轴的截面面积为 A(x) 由已知条件知
0
0
2ax02
12 由 yx3 x2 y0 所围成的图形 分别绕 x 轴及 y 轴旋转 计算所 得两个旋转体的体积
解 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为
Vx
2
y2dx
0
2
x6dx
1
x7
2
128
0
7 07
绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为
8
82
Vy 22 8
x2dy 32
0
0
y 3 dy
A
e
1
ln
ydy
y
ln
y
|1e
1e
dy
e
(e
1)
1
(3)
解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为
A 13[(3 x2)2x]dx
32 3
(4)
解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[1 3] 所求的面积为
A 31(2x 3 x2)dx (x2
3x
1 3
x3)|31
32 3
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积
12 2 sin t costdt 6a 0
26 将绕在圆(半径为 a)上的细线放开拉直 使细线与圆周始终相切 细线端点画出的轨 迹叫做圆的渐伸线 它的方程为
x a(cost tsin t) y a(sin t tcost)
计算这曲线上相应于 t 从 0 变到的一段弧的长度 解 由参数方程弧长公式
y2 x4 过点(0, 3)处的切线的斜率为 4 切线方程为 y4(x3) 过点(3, 0)处的切线的斜率为2 切线方程为 y2x6
两切线的交点为 (3 , 2
3)
所求的面积为
A
3
2
0
[4x
3(x2
4x 3)]
33[2x 6 (x2 2
4x 3]dx
9 4
4 求抛物线 y2=2px 及其在点 ( p , p) 处的法线所围成的图形的面积 2
t0
2 3
因而分点的坐标为
横坐标 x a(2 sin 2 ) (2 3)a
A
2[
1 2
6
0
(
2
sin )2d
1 2
4cos 6
2d
]
6
1 2
3
9 求位于曲线 y=ex 下方该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积 解 设直线 ykx 与曲线 yex 相切于 A(x0 y0)点 则有
y0 y0
k x0 ex0
y(x0) ex0 k
求得 x01 y0e ke 所求面积为
2
12a2[02
sin4
tdt
2
0
sin6
tdt]
3a2 8
(3)=2a(2+cos ) 解
所求的面积为
A
2
0
1 2
[2a(2
cos
)]2d
2a2
2
0
(4
4cos
cos2
)d
18a2
6 求由摆线 xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱(0t2)与横轴所围成的图形的面积
解
所求的面积为
t0 0
[x(t)]2 [y(t)]2dt t0 0
[a(1cost)]2 [asin t]2dt
2a t0sin t dt 4a(1cost0 )
02
2
当 t02时 得第一拱弧长 s(2)8a 为求分摆线第一拱为 1 3 的点为 A(x y) 令
4a(1cost0 ) 2a 2
解得
0
0
p
p0
1 [ y p2 y2 p2 ln( y p2 y2 )] y
p2
2
0
y
p2 y2 p ln y
p2 y2
2p
2
p
25 计算星形线 x acos3t y asin 3t 的全长
解 用参数方程的弧长公式
s 4 2 x2(t) y2(t)dt 0
4 2 [3acos2t (sin t)]2 [3asin 2t cost]2dt 0
y2
(x
1)4 y2
(x 1)4 2 (x 1)3
3 2
(x
1)
3
所以
2
s2
1 3(x 1)dx
2
2 3x 1d(3x 1) 8[(5)23 1]
1
2
3 21
92
24 计算抛物线 y22px 从顶点到这曲线上的一点 M(x y)的弧长
解 s y 1 x2(y)dy y 1( y )2dy 1 y p2 y2dy
积近似为 2xf(x)dx 这就是体积元素 即
dV2xf(x)dx 于是平面图形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为
b
b
V a 2xf (x)dx 2 a xf (x)dx
20 利用题 19 和结论 计算曲线 ysin x(0x)和 x 轴所围
成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积
解
V 2
xsin xdx2
当 2
时 A10
因此 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为
a
A0 2 0
2axdx 8 3
a
x3 a 8 a2 03
11 把抛物线 y24ax 及直线 xx0(x00)所围成的图形绕 x 轴旋转 计 算所得旋转体的体积
解 所得旋转体的体积为
V
x0y2dx
0
x0 4axdx 2a x2 x0
32
a3
0
105
14 用 积 分 方 法 证 明 图 中 球 缺 的 体 积 为
V H 2(R H ) 3
R
R
证明 V x2(y)dy (R2 y2)dy
RH
RH
(R2 y 1 y3) R H 2(R H )
3 RH
3
15 求下列已知曲线所围成的图形 按指定的轴旋转所产生 的旋转体的体积
a
a
a
8b a2 y2dy2a2b 2 0
17 设有一截锥体 其高为 h 上、下底均为椭圆 椭圆的轴
长分别为 2a、2b 和 2A、2B 求这截锥体的体积
解 建立坐标系如图 过 y 轴上 y 点作垂直于 y 轴的平面 则
平面与截锥体的截面为椭圆 易得其长短半轴分别为
A Aa y B Bb y
h
解
2yy2p
在点
(
p 2
,
p)
处
y
p y
( p , p) 2
1
法线的斜率 k1
法线的方程为
y
p
(x
p 2
)
即
x
3p 2
y
求得法线与抛物线的两个交点为 ( p , p) 和 (9 p,3p)
2
2
法线与抛物线所围成的图形的面积为
A
p
3p
(3p 2
y
y2 )dy 2p
(3p 2
y
1 2
y2
1 6p
a3
(1
e2u
2u
1
e2u
)1
40
42
20
a3 (2sh2) 4
(3) x2 (y 5)2 16 绕 x 轴
4
4
解 V (5 16 x2)2dx (5 16 x2)2dx
4
4
4
40 16 x2dx160 2 0
(4)摆线 xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 y0 绕直线 y2a
它是边长为 R2 x 的等边三角形的面积 其值为
A(x) 3(R2 x2)
所以
R
V
3(R2 x2)dx 4 3 R3
R
3
19 证明 由平面图形 0axb 0yf(x)绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为
b
V 2 xf (x)dx a
证明 如图 在 x 处取一宽为 dx 的小曲边梯形 小曲边梯形绕 y 轴旋转所得的旋转体的体