图论基础与网络流习题集锦
北京大学 朱睿
大纲
图论部分： 1.图论简介 2.生成树与生成树计数 3.欧拉回路与哈密顿回路 4.割与流，匹配
网络流问题部分： 1.习题 2.习题 3.更多的习题
图论简介
一个无向图G一般被抽象为一个二元组<V,E> 1.V是一个集合并被称为G的点集。 2.E是V的无序积的多重子集，被称为G的边集。其 元素被称为无向边。
思考：如何找到图中的网络流模型？
提示：发现“折线”这一条件的特殊性。
网络流习题集锦：股票走势
解答： 首先考虑如何建图。 假设我们将每只个股都看做一个点，如果A与B可以放 在一张纸上，就连一条边，这样得到了一个无向图。 但是很不幸，这个无向图没有给我们提供任何信息。 考虑到折线一定是连续的，那么两个可以在同一张纸 上的股票，是可以定义序关系的的。 将无向图改造成有向图，若某只股票的折线完全高于 另一只股票的折线，那么连一条有向边，这样我们得 到了一个拓扑图，问题转化成了用最少的链来覆盖这 个有向图，即最小链覆盖。 使用匹配/网络流解决最小链覆盖，由于链上每个节点 都有一个后继节点，那么将每个点拆成两个点排成两 排，若A能到B则从A左向B右连边，那么答案就是n匹配数。
网络流习题集锦：路径覆盖
路径覆盖类题目，主要是指这样一类问题：给定一个 图以及一系列行走规则，问如何使用最小的代价将用 一系列按照行走规则的路径覆盖住。 下面我们就来具体问题具体反分析。
网络流习题集锦：股票走势
小L最近迷恋上了炒股，他拿到了n支股票在0到k-1时 刻的价格表。他想要把每只股票的价格根据时刻依次 连成一个走势折线图，以此观察股票的情况。 但是小L不想铺张浪费，所以在每张纸上他不想只画 一条折线，而是把尽量多的折线画到一张纸上，使用 尽量少的纸。两条折线能够画到一张纸上，是要求它 们不相交，包括在端点处。 数据规模： 1≤n≤100，2≤k≤25
流： 假设G(V,E) 是一个有限的有向图，它的每条边 (u,v)∈E都有一个非负值实数的容量c(u,v) 。如果 (u,v)不属于E，我们假设c(u,v) = 0 。我们区别两个 顶点：一个源s和一个汇t。一个网络流是一个对于 所有结点u和v都有以下特性的实函数f:V×V→R 其满足以下三个要求： 1.容量限制：f(u,v) <= c(u,v) 2.斜对称：f(u,v) = -f(v,u) 3.流守恒：除非u=s或u=t，否则Σ(w∈V) f(u,w) = 0 则该网络流的流量为s的总输出（或t的总输入）
提Hale Waihona Puke ：按位处理。网络流习题集锦：最优选择
解答：首先可以发现，位与位之间没有任何关系，可 以按位处理。也就是说，我们只需要确定某个点选0还 是选1就可以了。 由于只有01不同的点才会产生代价，那么我们自然的 想到了最小割，也就是使01不同的边尽量少。
图论简介
平行边：即重边。 环：即自环。 简单图：不含平行边且不含环的图。 度：无向图中，与某点关联的边的数量。 入度，出度：有向图中，与某点关联的入边和出边 的数量。 K-正则图：无向简单图中所有点的度数都为K。 握手定理：所有点度数之和等于2*|E|。
同构：两个无向图<V1,E1>与<V2,E2>，若存在双 射函数f:V1->V2，使得对于任意vi,vj ∈ V1,f(vi),f(vj) ∈ V2时， <vi,vj> ∈ E1当且仅当<f(vi),f(vj)> ∈ E2， 则称这两个无向图同构。
网络流习题集锦：闭合子图
最大权闭合子图类问题：
给定一些事件。
事件之间有依赖关系，比如若选了A就一定要选B。
建图的经典思想： S->(pA)A->(inf)B->(pB)T S->A->T S->B->T A->(c)B 用c作为最小割
网络流习题集锦：加工顺序
有N个工作，M种机器，每种机器你可以租或者买过来. 每个工作包括若干道工序，每道工序需要某种机器来 完成,你可以通过购买或租用机器来完成。现在给出这 些参数，求最大利润。 N<=1200,M<=1200
有向图欧拉回路的充要条件：每个点的入度和等于出 度和。那么此时该图至少要保证入度和-出度和是一个 偶数。 然后使用网络流，源点向所有入度和>出度和的点连 一条大小为|入度和-出度和|/2的边，所有出度和>入度 和的点连一条|出度和-入度和|/2的边。 无向图中边(vi,vj)若变成了有向边<vi,vj>，那么在流中 连一条容量为1的边<vj,vi>，意为反悔。满流则有解。
生成树与生成树计数
生成树：一个连通无向图的极小连通子图，被称为 这个图的生成树
最小生成树：一个边带权的连通无向图的极小连通 子图，同时包含最小的边权 —Prim算法 —Kruskal算法 生成树计数问题：如何求出一个连通无向简单图的 不重复生成树个数？
生成树与生成树计数
Matrix-Tree（矩阵树）定理： 假设图G是一个包含n个点无向图。
在这个图上运行费用流，就能得到最小代价。
网络流习题集锦：营救行动
一个N个点M条边的带点标号的无向图，经过一条边需 要一定的时间。现在有K个人在0号点，K个人可以分 头行动。在访问第i号点之前不能经过第i+1号点，K个 人中任意一个经过某个点之后就可以认为该点被访问 了。问访问完所有点的前提下，这K个人的行走路径长 度之和最小是多少。
定义G的度数矩阵D[G]为一个n*n的矩阵，并且对于 任意i ≠ j，有Dij=0；当i=j时，Dij为节点i的度数。 定义G的邻接矩阵A[G]为一个n*n的矩阵，并且对于 任意<i,j>属于G的边集时，Aij为1；否则为0。 定义G的Laplace算子(Kirchhoff矩阵)为C[G]=D[G]A[G]。 那么图G的生成树个数为C[G]的任意一个n-1阶主子 式（即去掉第r行第r列，r任意）的行列式之绝对值。
割：设Ci为网络N中一些弧的集合，若从N中删去Ci 中的所有弧，即：使得从顶点Vs到顶点Vt的路集为 空集时，称Ci为Vs和Vt间的一个割。
割与流，匹配
最大流：从s到t的所有可行的网络流中，流量最大 的网络流。
最小割：从s到t的割中，删除边权和最小的割。 对于一个给定的s和t，最大流=最小割
割与流，匹配
网络流习题集锦：星际竞速
N个点M条边的有向图，将所有点从1~N标号，每条边 Eij都只能从编号小的点走到编号大的点，代价为Pij。
可以使用瞬移，从任意点瞬移到i号点的代价为Ai。 要求从一个标号为N+1的孤立点出发，经过所有点一 次且仅一次，问最小代价。 N <=800，M<=15000
网络流习题集锦：星际竞速
解答： 将所有工人看做一个点排成一排在左边，所有产品看 做一个点排成一排在右边，若某个工人会制造某个产 品，则在相应的两个点上连容量为1的边。
此时，我们考虑到对这个图做网络流，源向左边每个 点都连一条容量为K的边，右边每个点向终点连一条容 量为K的边，如果没有流满，那么显然是不可能有解的。 而如果流满，则根据Hall定理，我们也可以知道它是有 解的，然后一遍一遍进行二分图匹配即可。
网络流习题集锦：营救行动
其实这也是一道路径覆盖的题目，相当于把1~n这个序 列拆成K个序列，并使得总路程和最小。
于是我们可以先用改动过的Floyd算法求出在保证只访 问标号比i,j都小的节点的前提下，i到j的最短路。 之后和上题有相似之处，将点i拆成两个点Ai和Bi。 对于i!=0，由Ai向Bi连一条费用为0容量为1的边，然后 Bi向汇点连一条容量为1费用为0的边。 源点向B0连一条容量为k费用为0的边。 每个B点都向比自己大的A点连一条容量为1费用为最 短路的边。 等等，这个算法好像有问题？ 与上一题不同的是，这题要求遍历所有节点。因此我 们应该把所有A->B的边增设下界1。
网络流习题集锦：星际竞速
解答： 建立虚拟源st与虚拟汇en。 将每个点都拆成两个两个点，如u -> (u, u’)。 从st向所有u连边，容量为1费用为0； 从所有u’向en连边，容量为1费用为0； 若u,v之间在原图中有边，那么在u与v’之间连边，费用 为路径费用Puv，容量为1。 从st向所有v’连边，费用为瞬移到v点的代价。
网络流习题集锦：趣味工厂
有一个工厂，工厂中有n个工人与n种产品。每个工人 能够生产这些产品中的一部分。
现在我们希望作一个k天的工作规划，使得每一天每一 个产品恰好有一个工人在从事生产，并且在这k天内每 个工人都不会生产重复的产品。 1≤n≤100, 1≤k≤n 思考：直接的贪心算法是否正确？
网络流习题集锦：趣味工厂
一个有向图D一般被抽象为一个二元组<V,E> 1.V是一个集合并被称为D的点集。 2.E是V的卡氏积的多重子集，被称为D的边集。其 元素被称为有向边。 图的阶：即|V|。 零图：|E| = 0。 基图：将D的有向边改为无向边，成为一个无向图。 无向完全图：简单无向图中每个点都与其他点相邻。 有向完全图：简单有向图中对于任意vi,vj ∈ V都有 <vi,vj> ∈ E且<vj,vi> ∈ E。
网络流习题集锦：欧拉回路
给定一张包含N个点M条边的图，其中有些边是单向 边有些边是双向边。问是否存在欧拉回路。
N和M范围不限定，试给出尽量优秀的算法。
网络流习题集锦：欧拉回路
解答：首先我们知道，若该混合图有欧拉回路，一定 有一种方法使得给该图中所有无向边定向后的有向图 仍然有欧拉回路。那么我们首先给所有无向边随意定 一个向。
同样的，我们可以定义边覆盖集（即用边覆盖所有 点）与边独立集（即任意两条边之间没有共同点）。
割与流，匹配
匹配：G的一个边独立集，又被称为G的一个匹配。 极大匹配与最大匹配。
二部图（二分图）：若无向图G的点集V可以分割 成两个互不相交的子集，并且对于边集E中的所有 边(vi,vj)所关联的两个顶点vi和vj都分属这两个子集， 那么图G就被称为一个二部图。 二部图匹配的霍尔定理（婚姻定理）：设有二部图 G=<V1,V2,E>且|V1|<=|V2|，则该图有完美匹配的 充要条件是，对于任意V1的子集S，设|S|=k，则与 S相连的点集大小 不小于k。 推论：若G为k-正则二部图，那么G中存在k个边不 同的完美匹配。