八年级下册数学期末压轴题专辑（含解析）1.如图，ON 为∠AOB 中的一条射线，点 P 在边 OA 上，PH⊥OB 于 H，交 ON 于点 Q，PM∥OB 交 ON 于点 M, MD⊥OB 于点 D，QR∥OB 交 MD 于点 R，连结 PR 交 QM 于点 S。
（1）求证：四边形 PQRM 为矩形；（2）若 OP= 1 PR，试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由。
2（1）证明：∵PH⊥OB，MD⊥OB，∴PH∥MD， ∵PM∥OB，QR∥OB，∴PM∥QR，∴四边形 PQRM 是平行四边形， ∵PH⊥OB，∴∠PHO=90°， ∵PM∥OB，∴∠MPQ=∠PHO=90°，∴四边形 PQRM 为矩形； （2）∠AOB=3∠BON．理由如下：∵四边形 PQRM 为矩形，∴PS=SR=SQ= 1 PR，∴∠SQR=∠SRQ， 2又∵OP= 1 PR，∴OP=PS，∴∠POS=∠PSO， 2∵QR∥OB，∴∠SQR=∠BON， 在△SQR 中，∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠SQR=2∠BON，∴∠POS=2∠BON， ∴∠AOB=∠POS+∠BON=2∠BON+∠BON=3∠BON，即∠AOB=3∠BON．2.如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系内（O 为坐标原点），点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，点 B 的坐标分别为（-2,2 3 ） ，点 E 是 BC 的中点，点 H 在 OA 上，且 AH= 1 ，过点 H 且平行于 y 轴的 HG 与 EB 2交于点 G，现将矩形折叠，使顶点 C 落在 HG 上，并与 HG 上的点 D 重合，折痕为 EF，点 F 为折痕与 y 轴 的交点。
（1）求∠CEF 的度数和点 D 的坐标； （2）求折痕 EF 所在直线的函数表达式； （3）若点 P 在直线 EF 上，当△PFD 为等腰三角形时，试问满足条件的点 P 有几个？请求出点 P 的坐标， 并写出解答过程。
（本题部分过程用了三角函数，可以用初二知识点沟通）（备用图）解 ： （ 1 ） ∵ E 是 BC 的 中 点 ， ∴ EC=EB==1 ．∵ △ FCE 与 △ FDE 关 于 直 线 EF 对 称 ， ∴ △ FCE ≌ △ FDE ，∴ED=EC=1，∠FCE=∠FDE=90°，DF=CF．∵AH=1，∴EG=EB-AH=1-1=1．222∵ cos ∠ GED== 1 ， ∴ ∠ GED=60 ° ． ∴ ∠ DEC=180 ° -60 ° =120 ° ． 2∵∠DEF=∠CEF∴∠CEF==60°．在 Rt △ GED 中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： DG2=ED2-EG2=1-=∴ DG=DH=AB-DG=2-=OH=OA-AH=2- 1 = 2故 D（- ，）- 1 - / 12（ 2 ） ∵ ∠ CEF ═ 60 ° ∴ CF=ECtan60 ° =∴ OF=OC-CF=2-=∴F（0，） ， E （ -1 ， 2）设 EF 所 在 直 线 的 函 数 表 达 式 为 y=kx+b ， 由 图 象 ， 得，解得：故 EF 所在直线的函数表达式为：y=- x+ ；（ 3 ） ∵ DF=CF= 点 P 在 直 线 EF 上 ， ∴ 当 △ PFD 为 等 腰 三 角 形 时 ， 有 以 下 三 种 情 况 ：（ a ） P1F=DF=，可 令 P1 （ t ， -t+） ， 则 ： P1F2=3∴ 由 两 点 间 的 距 离 公 式 为 ： （ t-0 ） 2+ （ -t+-） 2=3 ∴ t2+3t2=3 ∴ t2=，∴ t1=-， t2=∴ P1 （ -，+） ； P3 （，- + ）（ b ） PD=DF= 时 ， 仍 令 P （ t ， - t+ ） ， 注 意 D （ - ，） ， 则 ： PD2=3∴ （ t+ ） 2+ （ - t+ -） 2=3 ∴ t2+3t+ +3t2+3t+ =3 ∴ 4t2+6t=0∴ t1=0， t2=-∵ t1=0 对 应 F 点 ， 此 时 不 构 成 三 角 形 ， 故 舍 去 ． ∴ P4 （ -，）（ c ） 当 PD=PF 仍 令 P （ t ， - t+ ） ， 注 意 D （ - ，），F（0， ），则：PD2=PF2 ∴ （ t+） 2+ （ -t+-） 2= （ t-0 ） 2+ （ -t+-∴ t2+3t++3t2+3t+=t2+3t2 ∴ 6t+3=0 ∴ t=- 1 ∴ P4 （ - 1 ，22）2， ）．故满足条件的点 P 有 4 个．分别是：（（）．）、（）、（yy11BP AC Oy2xy3.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线y1=-2 3x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B,直线y 2 =kx+b（k≠0） 经过点 C(1,0)且与线段 AB 交于点 P,并把△ABO 分成两部分.(1)求△ABO 的面积. (2)若△ABO 被直线 CP 分成的两部分的面积相等,求点 P 的坐标及直线 CP 的函数表达式.- 2 - / 12解：(1)在直线令，得中，令，得． ∴A(3，0)．、∴．(2)．∵点 P 在第一象限，∴． ∴B(0，2)． ．解得．而点 P 又在直线 上，∴．解得．∴P( )． 将点 C(1，0)、P( )，代入 ∴直线 CP 的函数表达式为中，有．∴．4.如图①,在 Rt△ABC 中,已知∠A=90º,AB=AC,G、F 分别是 AB、AC 上两点，且 GF∥BC，AF=2，BG=4. (1)求梯形 BCFG 的面积. (2)有一梯形 DEFG 与梯形 BCFG 重合,固定△ABC,将梯形 DEFG 向右运动,直到点 D 与点 C 重合为止, 如图②.①若某时段运动后形成的四边形 BDG / G 中,DG⊥BG / ,求运动路程 BD 的长,并求此时 G / B 2 的值.②设运动中 BD 的长度为 x,试用含 x 的代数式表示出梯形 DEFG 与 Rt△ABC 重合部分的面积.AGFAG G F FB(D) 图①C(E) BD图②CE备用图解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．又∵GF∥BC，∴∠AGF=∠AFG=45°．∴AG=AF=2，AB=AC=6．∴S梯形GBCF=S△ABC-S△AGF=．（ 2 ） ① ∵ 在 运 动 过 程 中 有 DG ′ ∥ BG 且 DG ′ =BG ， ∴ BDG ′ G 是 平 行 四 边 形 ．当DG ⊥ BG ′ 时 ， BDG ′ G是菱形．∴BD=BG=4．如 图 ③ ， 当 BDG ′ G 为 菱 形 时 ， 过 点 G ′ 作 G ′ M ⊥ BC 于 点 M ．- 3 - / 12在 Rt △ G ′ DM 中 ， ∠ G ′ DM=45 ° ， DG ′ =4 ，∴DM=G′M且DM2+G'M2=DG'2．∴DM=G′M=，∴BM=．连接G′B．在 Rt △ G ′ BM 中 ，．②当 0≤x≤时，其重合部分为梯形，如图②．在 Rt △ AGF 与 Rt △ ABC 中 ，，．过 G 点 作 GH 垂 直 BC 于 点 H ， 得 GH=．由 ① ， 知 BD=GG ′ =x ， DC=，．∴S梯形=．当≤x≤时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③．∵ 斜 边 DC=，斜边上的高为，∴．5.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 PA 是一次函数 y=x+m(m>0)的图象,直线 PB 是一次函数y=-3x＋n（n＞m） 的图象,点 P 是两直线的交点,点 A、B、C、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点。
（1）用 m、n 分别表示点 A、B、P 的坐标及∠PAB 的度数；（2）若四边形 PQOB 的面积是 11 ，且 CQ:AO=1:2，试求点 P 的坐标，并求出直线 PA 与 PB 的函数表达 2式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点 D，使以 A、B、P、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。
解 ： （ 1 ） 在 直 线 y=x+m 中 ， 令 y=0 ， 得 x=-m ．∴点A（-m，0）．在 直 线 y=-3x+n 中 ， 令 y=0 ， 得．CQP∴点B（，0）．AOB由，得，∴点 P（，）．在 直 线 y=x+m 中 ， 令 x=0 ， 得 y=m ， ∴ |-m|=|m| ， 即 有 AO=QO ． 又 ∠ AOQ=90 ° ， ∴ △ AOQ 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∴ ∠ PAB=45 度 ．（ 2 ） ∵ CQ ： AO=1 ： 2 ， ∴ （ n-m ） ： m=1 ： 2 ， 整 理 得 3m=2n ，- 4 - / 12∴ n=m，∴=而S四边形PQOB=S △ PAB-S △ AOQ=1 2（+m ） × （m）-1 2× m × m==m，m2=，解得 m=±4，∵ m ＞ 0 ， ∴ m=4 ， ∴ n=m=6 ， ∴ P （）．∴PA 的函数表达式为 y=x+4，PB 的函数表达式为 y=-3x+6．（3）存在．过点 P 作直线 PM 平行于 x 轴，过点 B 作 AP 的平行线交 PM 于点 D1，过点 A 作 BP 的平行线交 PM 于点D2 ， 过 点 A 、 B 分 别 作 BP 、 AP 的 平 行 线 交 于 点 D3 ．①∵PD1∥AB且BD1∥AP，∴ PABD1 是 平 行 四 边 形 ． 此 时 PD1=AB ， 易 得；②∵PD2∥AB且AD2∥BP，∴ PBAD2 是 平 行 四 边 形 ． 此 时 PD2=AB ， 易 得；③ ∵ BD3 ∥ AP 且 AD3 ∥ BP ， 此 时 BPAD3 是 平 行 四 边 形 ．∵ BD3 ∥ AP 且 B （ 2 ， O ） ， ∴ yBD3=x-2 ． 同 理 可 得 yAD3=-3x-12，得，∴．6.如图，在平面直角坐标系中，直线 l1 ：y4 3x 与直线 l2:ykxb相交于点A，点A的横坐标为3，直线 l2交y轴于点B，且∣OA∣=1 2∣OB∣。
（1）试求直线 l2 的函数表达式；（2）若将直线 l1 沿着 x 轴向左平移 3 个单位，交 y 轴于点 C，交直线 l2 于点 D。
试求△BCD 的面积。
解 ： （ 1 ） 根 据 题 意 ， 点 A 的 横 坐 标 为 3 ， 代 入 直 线 l1 ：中，得点 A 的纵坐标为 4，即点A（3，4）；即OA=5，又 |OA|= 1 |OB| ． 即 OB=10 ， 且 点 B 位 于 y 轴 上 ， 即 得 B （ 0 ， -10 ） ； 2将 A 、 B 两 点 坐 标 代 入 直 线 l2 中 ， 得 4=3k+b ； -10=b ； 解 之 得 ， k=， b=-10 ；- 5 - / 12即直线l2的解析式为y=x-10 ；（2）根据题意，设 平 移 后 的 直 线 l1 的 解 析 式 为 y= x+m ， 代 入 （ -3 ， 0 ） ， 可 得 ： -4+m=0 ， 解 得 ： m=4 ，平 移 后 的 直 线 l1 的 直 线 方 程 为；即点 C 的坐标为（0，4）；联 立 线 l2 的 直 线 方 程 ， 解 得 x=， y=，即点 D（又点 B（0，-10），如图所示：故△BCD 的面积 S= 1 ××14=．2）；7.正方形 ABCD 的边长为 4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使 AB 边落在 X 轴的正半轴上，且 A 点的坐标是（1，0）。