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高中数学必修1知识点总结及题型

高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念1.集合:一般地,把一些能够________________对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…来表示.2.元素:构成集合的____________叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…来表示.3.空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为.知识点二集合与元素的关系1.属于:如果a是集合A的元素,就说a________集合A,记作a________A.2.不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a________集合A,记作a________A.知识点三集合的特性及分类1.集合元素的特性_______、________、________.2.集合的分类:(1)有限集:含有_______元素的集合;(2)无限集:含有_______元素的集合.3.常用数集及符号表示名称非负整数集(自然数集) 整数集实数集符号N N*或N+Z Q R知识点四集合的表示方法1.列举法:把集合的元素______________,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法2.描述法:用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法.知识点五集合与集合的关系1.子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的________元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集________(或________)真子集如果集合A⊆B,但存在元素________,且________,我们称集合A是集合B的真子集________(或________)2.子集的性质(1)规定:空集是____________的子集,也就是说,对任意集合A,都有________.(2)任何一个集合A都是它本身的子集,即________.(3)如果A⊆B,B⊆C,则________.(4)如果A⊆B,B⊆C,则________.3.集合相等知识点六 集合的运算 1.交集 2.并集自然语言符号语言图形语言由_________________ _________________组成的集合,称为A 与B 的并集A ∪B =_______________3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质 A ∩B =________ A ∪B =________ A ∩A =________ A ∪A =________ A ∩∅=________ A ∪∅=________ A ⊆B ⇔A ∩B =________A ⊆B ⇔A ∪B =________4.全集在研究集合与集合之间的关系时,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________,那么就称这个集合为全集,通常记作________. 5.补集文字语言 对于一个集合A ,由全集U 中__________的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,记作________符号语言 ∁U A =________________图形语言定义符号语言图形图言 (Venn 图)集合相等 如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B),且________________,此时,集合A 与集合B 中的元素是一样的,因此,集合A 与集合B 相等A =B自然语言符号语言图形语言由___________________ _____________________ 组成的集合,称为A 与B 的交集A ∩B =_________典例精讲题型一 * 判断能否构成集合1.在“①高一数学中的难题;②所有的正三角形;③方程x 2-2=0的实数解”中,能够构成集合的是 。

题型二 * 验证元素是否是集合的元素 1、已知集合{}Zn Z m n m x x A ∈∈-==,,22,判断3是不是集合A 的元素。

2、集合A 是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的,判断321-是不是集合A 中的元素.题型三 ** 求集合1.方程组⎩⎨⎧3x +y =22x -3y =27的解集是( )A.⎩⎨⎧x =3y =-7B .{x ,y|x =3且y =-7}C .{3,-7}D .{(x ,y)|x =3且y =-7} 2.下列六种表示法:①{x =-1,y =2};②{(x ,y)|x =-1,y =2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{(x ,y)|x =-1或y =2}.能表示方程组⎩⎨⎧2x +y =0,x -y +3=0的解集的是( )A .①②③④⑤⑥B .②③④⑤C .②⑤D .②⑤⑥题型四 ** 利用集合中元素的性质求参数1.已知集合S ={a ,b ,c}中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形 2.设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a}={}0,b a ,b ,则b -a =________.3.已知P ={x|2<x <k ,x ∈N ,k ∈R},若集合P 中恰有3个元素,则实数k 的取值范围是________.4.已知集合A 是由0,m ,m 2-3m +2三个元素组成的集合,且2∈A ,则实数m 的值为( )A .2B .3C .0或3D .0或2或3 题型五 ** 判断集合间的关系 1、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214,则M 与N 的关系正确的是( )A. M=NB.N M ≠⊂ C.N M ≠⊃ D.以上都不对2.判断下列集合间的关系:(1)A ={x|x -3>2},B ={x|2x -5≥0}; (2)A ={x ∈Z|-1≤x<3},B ={x|x =|y|,y ∈A}. 题型六 ** 求子集个数1.已知集合A ={x|ax 2+2x +a =0,a ∈R},若集合A 有且仅有2个子集,则a 的取值构成的集合为________. 2.已知集合A ={1,2,3},写出集合A 的所有子集,非空子集,真子集,非空真子集题型七** 利用两个集合之间的关系求参数1.已知集合A={1,2,m3},B={1,m},B⊆A,则m=________.2.已知集合A={1,2},B={x|ax-2=0},若B⊆A,则a的值不可能是()A.0 B.1 C.2 D.3题型八*** 集合间的基本运算1.下面四个结论:①若a∈(A∪B),则a∈A;②若a∈(A∩B),则a∈(A∪B);③若a∈A,且a∈B,则a∈(A∩B);④若A∪B=A,则A∩B=B.其中正确的个数为()A.1B.2 C.3 D.42.已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x>3},则M∪N=()A.{x|x>-3} B.{x|-3<x≤5} C.{x|3<x≤5} D.{x|x≤5}3.已知集合A={2,-3},集合B满足B∩A=B,那么符合条件的集合B的个数是()A.1 B.2 C.3 D.44.(2016·全国卷Ⅲ理,1)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3] B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)5.下列关系式中,正确的个数为()①(M∩N)⊆N;②(M∩N)⊆(M∪N);③(M∪N)⊆N;④若M⊆N,则M∩N=M.A.4 B.3 C.2 D.16.(2016·唐山一中月考试题)已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(∁U A)∪B,A∩(∁U B).题型九** 根据集合运算的结果求参数1.若集合A={2,4,x},B={2,x2},且A∪B={2,4,x},则x=________.2.设A={x|x2+8x=0},B={x|x2+2(a+2)x+a2-4=0},其中a∈R.如果A∩B=B,求实数a的取值范围.3.U={1,2},A={x|x2+px+q=0},∁U A={1},则p+q=________.题型十** 集合中的新定义问题1.集合P={3,4,5},Q={6,7},定义P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P*Q的子集个数为()A.7 B.12 C.32 D.642.当x∈A时,若x-1∉A,且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”,若集合M={0,1,3}的孤星集为M′,集合N={0,3,4}的孤星集为N′,则M′∪N′=()A.{0,1,3,4} B.{1,4} C.{1,3} D.{0,3}知识点一函数的有关概念知识点二两个函数相等的条件1.定义域________.2.________完全一致.知识点三区间的概念及表示1.一般区间的表示设a,b∈R,且a<b,规定如下:定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b} 闭区间{x|a<x<b} 开区间{x|a≤x<b} 半开半闭区间{x|a<x≤b} 半开半闭区间2.定义R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}符号(-∞,+∞) a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a)知识点四函数的表示方法函数的三种表示法:解析法、图象法、列表法.知识点五分段函数如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的________,那么称这样的函数为分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的________,值域是各段值域的________. 知识点六 映射的概念设A ,B 是两个________________,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的________________,在集合B 中都有________确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射. 知识点七 函数的单调性1.增函数、减函数:设函数f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数;当x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数.2.函数的单调性:若函数f(x)在区间D 上是增(减)函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f(x)的单调区间.3.单调性的常见结论:若函数f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)仍为增(减)函数;若函数f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数;若函数f(x)为增(减)函数,且f(x)>0,则1f (x )为减(增)函数.知识点八 函数的最大值、最小值性质:定义在闭区间上的单调函数,必有最大(小)值. 知识点九 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的概念2.性质(1)偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称,奇函数在原点有定义,则f(x)=0 (2)奇函数在对称的区间上单调性相同,偶函数在对称的区间上单调性相反.(3)在定义域的公共部分内,两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数;两个奇函数之和为奇函数;两个偶函数的和、积与商为偶函数;一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数. 知识点十 函数的周期性若存在非零常数T ,对定义域内任意x ,都有()()f x T f x +=,称这样的函数为周期函数,T 叫函数的一个周期。

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