2013年普通高等学校统一考试数学试题卷Ⅰ 必做题部分乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用一．填空题。

1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 。

2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 。

3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 。

4．集合}1,0,1{-共有 个子集。

5．下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 。

6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。

7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 。

8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V 。

9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。

若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。

10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+=ABC1A D E F 1B 1C（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 。

11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 。

12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。

13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 。

14．在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n的值为 。

二．解答题：15．本小题满分14分。

已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，，παβ<<<0。

（1）若||a b -= a b ⊥ ；（2）设(0,1)c =，若a b c += ，求βα,的值。

16．本小题满分14分。

如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥.17．本小题满分14分。

如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上。

（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。

ABCSGFE18．本小题满分16分。

如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。

一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C 。

现有甲．乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为m in /50m 。

在甲出发m in 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C 。

假设缆车匀速直线运动的速度为m in /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，1312cos=A ，53cos =C 。

（1）求索道AB 的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．本小题满分16分。

设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和。

记cn nS b nn +=2，*N n ∈，其中c 为实数。

（1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*,N n k ∈）；（2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c 。

20．本小题满分16分。

设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x-=)(，其中a 为实数。

（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围； （2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论。

21．A.［选修4-1：几何证明选讲］本小题满分10分。

如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，,C AC 经过圆心O ，且2BC OC = 求证：2AC AD =22．B.［选修4-2：矩阵与变换］本小题满分10分。

已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵B A 1-。

23.C.［选修4-4：坐标系与参数方程］本小题满分10分。

C BA在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21（t 为参数），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x（θ为参数），试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。

24．D.［选修4-5：不定式选讲］本小题满分10分。

已知b a ≥＞0，求证：b a ab b a 223322-≥-25．本小题满分10分。

如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点 （1）求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值 （2）求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值。

26．本小题满分10分。

设数列{}122,3,3,34444n a ：，-，-，-，-，-，-，，-1-1-1k k kk k个（），，（），即当1122k k k k n -+<≤（）（）()k N +∈时，11k n a k -=（-），记12n n S a a a =++ ()n N +∈，对于l N +∈，定义集合{}l P 1n n n S a n N n l +=∈≤≤是的整数倍，，且（1）求集合11P 中元素的个数； （2）求集合2000P 中元素的个数。

参考答案一、选择题1．解析：本题主要考察三角函数的周期公式ωπ2=T ∴222πωπ==T =π 2．解析：本题主要考察复数的模22y x z +=∵i i z 43)2(2-=-=∴5)4(322=-+=z3．解析：本题主要考察双曲线12222=-by a x 的两条渐近线的求法，把1改成0得02222=-b y a x∴双曲线12222=-by a x 的两条渐近线的方程为x a by ±=∴双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为x y 43±=4．解析：本题主要考察子集的有关概念。

∵集合},,,{21n a a a 的子集个数为n2 ∴集合}1,0,1{-共有32= 8 个子集5．解析：本题主要考察准确读算法及流程图，注意执行过程，∴3=n6．【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ．7．【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．解析：本题主要考察棱柱的体积计算及相似比等有关基础知识。

设三棱柱高为h ，底面ABC ∆面积为S ,∴三棱柱ABC C B A -111的体积为Sh V =2∵F 是1AA 的中点 ∴2:1:1=h h ∵F E ，分别是AC AB ，的中点∴4:1:1=s s∴2412141313131111121121=∙∙====--h h S S Sh h S V V V V C B A ABC ADE F 棱柱三棱锥9．解析：本题主要考察导数的几何意义及线性规划等基础知识。

x y 2'= ∴21'===x y k ∴切线方程为)1(21-=-x y与x 轴交点为)0,21(A ，与y 轴交点为)1,0(-B , 当直线y x z 2+=过点)0,21(A 时021m ax +=z当直线y x z 2+=过点)1,0(-B 时2)1(20m in -=-⨯+=z∴y x 2+的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,210．解析：本题主要考察向量的加减法及待定系数法等基础知识。

AC AB AC AB AB AC AB BC AB BE DB DE 213261)(32213221λλ+=+-=-+=+=+= ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=326121λλ ∴2121=+λλ11．解析：本题主要考察函数的奇偶性．一元二次不等式的解法等基础知识及分类讨论的数学思想方法。

设x ＜0，则x -＞0，∴x x x x x f 4)(4)()(22+=---=-∵)(x f 是定义在R 上的奇函数 ∴)()(x f x f -=- ∴x x x f 4)(2+=- ∴x x x f 4)(2--= 又∵0)0(=f∴⎪⎩⎪⎨⎧<-->-=)0(40)0(4)(22x x x x x x x f∴⎩⎨⎧>->x x x x 402或者⎩⎨⎧>--<x x x x 402∴5>x 或者05<<-x∴不等式x x f >)(的解集用区间表示为()()+∞-,50,5法二：【解析】做出x x x f 4)(2-= (0>x )的图像，如下图所示。

由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。

不等式x x f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。

12．解析：本题主要考察椭圆的性质，以及化繁为简运算能力及数学思想方法。

AOB Rt ∆中，利用面积相等1d AB OB OA ∙=∙ 或者利用原点)0,0(O 到直线1=+byc x 即0=-+bc cy bx 的距离公式得abcd =1，因为c c a d -=22带入126d d =得a bc c c a 62=- ∴a bc c c a 622=- ∴a b cc a 6222=- 左边分子分母同时除以2a 右边平方再开方得： xy ＝xy ＝x 2—4P (5,5)5)x∴2222261a c a e e -=- ∴222161e ee -=- ∴6122=-e e ∴01624=-+e e ∴312=e（212-=e 舍）∴33=e法二：【解析】如图，l ：x ＝c a 2，2d ＝c a 2－c ＝c b 2，由等面积得：1d ＝abc。