2018年黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(一)数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z 为纯虚数，且3(2)1i z ai +=+（i 为虚数单位），则a z +=( )A ．1B ．3C ．2D ．52. （2017·咸阳市二模)若tan 1α=，则2sin 2cos αα-的值为( )A ．1B ．12C ．13D ．143.命题“00x ∃≤，使得200x ≥”的否定是( )A ．20,0x x ∀≤<B ．20,0x x ∀≤≥C ．2000,0x x ∃>>D ．2000,0x x ∃<≤4.（2017·太原二模）如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．32 34 32B ．33 45 35 C. 34 45 32 D ．33 36 355.（2017·海口市调研）当双曲线2221862x y m m-=+-的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率是( ) A ．1± B ．23± C.13± D ．12± 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．2πB ．4π C.6(213)π++ D ．(4213)π+7.（2017·合肥市质检）点G 为ABC 的重心（三角形三边中线的交点），设,BG a GC b ==，则AB =( )A ．3122a b -B ．3122a b + C.2a b - D ．2b a - 8. （2017·太原市二模）设函数()sin()0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且12()()f x f x =，则12()f x x +=( )A ．1B ．12 C. 22 D ．329. 执行如图所示的程序框图,则输出a 的值为( )A ．2B ．23 C.12D ．-1 10.设等差数列{}n a 的前n 项和为114,22,12n S S a ==-，若30m a =，则m = ( )A ．9B ．10 C. 11 D ．1511. （2017·保定市二模）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A ．6B ．5 C. 4 D ．5.512. （2017·济南市二模）设函数'()f x 是()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且3()'()3f x f x =-，则4()'()f x f x >的解集是( )A ．ln 4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．ln 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.3,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．,3e ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若,x y 满足约束条件：0,23,23,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则x y -的取值范围是 ．14.函数()22()sin log 2g x x x t x =++为偶函数，则t = ． 15. （2017·甘肃省二诊）已知直线340x y m -+=与圆224x y +=交于不同两点,A B ，其中O 为坐标原点，C 为圆外一点，若四边形OACB 是平行四边形，则实数m 的取值范围为 ．16. （2017·泰安一模）已知平面向量,a b 满足1b =，且a 与b a -的夹角为120°，则a 的模的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （2017·成都市二诊）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3a =，且223b c bc +=+.(1)求角A 的大小；(2)求sin b C 的最大值.18. （2017·昆明市质检）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11AA B B 为正方形，侧面11BBC C 为菱形，1160,CBB AB BC ∠=⊥.(1)证明：平面11AA B B ⊥平面11BBC C ； (2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为23，求点A 到平面111A B C 的距离.19. （2017·石家庄模拟）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究,针对篮球运动员在投篮命中时,运动员在篮筐中心的水平距离这项指标,对某运动员进行了若干场次的统计,依据统计结果绘制如下频率分 布直方图:(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离的中位数；(2)若从该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中,用分层抽样的方法抽取7次成绩(单位:米,运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离越远越好),并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次.规定:这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组,记 1分,否则记0分.求该运动员得1分的概率.20. （2017·唐山市二模） 已知点F 为抛物线2:4C x y =的焦点，,,A B D 为抛物线C 上三点，且点A 在第一象限，直线AB 经过点,F BD 与抛物线C 在点A 处的切线平行，点M 为BD 的中点.(1)证明：AM 与y 轴平行；(2)求ABD 面积S 的最小值.21. 已知函数2()1xe f x x mx =-+ . (1)若(2,2)m ∈-，求函数()y f x =的单调区间；(2)若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[0,1]x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为22sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为sin (0)a a ρθ=>，射线,,,442πππθϕθϕθϕθϕ==+=-=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点,,,A B C D .(1)若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程；(2)求OA OC OB OD +的值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()||,0f x x a a =-<.(1)证明：1()2f x f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭； (2)若不等式1()(2)2f x f x +<的解集非空，求a 的取值范围.普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(一)文科数学答案一、选择题1-5:DBABB 6-10:CDDAB 11、12：BB二、填空题 13.33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 14.12 15. (10,5)(5,10)-- 16.230,3⎛⎤ ⎥ ⎝⎦三、解答题17.解析：(1)由已知223,3a b c bc =+=+，得222231222b c a bc a bc bc +-+-==.详解答案 即1cos 23A A π=⇒=. (2)由正弦定理，得sin 2sin sin a bB B A ==， sin 2sin sin 2sin sin 3b C C B C C π⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭. 13sin 2sin sin cos 22b C C C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 23111sin 3sin cos sin 2cos 2sin 222262C C C C C C π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴当3C π=时，sin b C 取得最大值32. 18.解析：(1)证明：侧面11AA B B 为正方形，知1AB BB ⊥，又1111,AB B C BB B C B ⊥=， 所以AB ⊥平面11BB C C ,又AB ⊂平面11AA B B ,所以平面11AA B B ⊥平面11BBC C . (2)设AB a =，A 点到平面111A B C 的距离为h ，由已知，1BB C ∆是边长为a 的等边三角形，在直角三角形ABC 中，AB BC a ==，由(1)知AB ⊥平面1BBC , 则11113ABC A B C A BB C V V --=， 即1133ABC BB C S h S AB ∆=⨯，又已知11123ABC A B C V -=, 所以22113323234a h a a =⨯⨯=， 得2,3a h ==， 即A 点到平面111A B C 的距离为3.19. 解析:(１)设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x0.0520.100.200.5⨯++<，且(0.400.20)10.60.5+⨯=>，[]4,5x ∴∈由()0.4050.2010.5x ⨯-+⨯=，解得 4.25x =，∴ 该运动员到篮筐的水平距离的中位数是4.25(米) ．(2)由题意知,抽到的7次成绩中,有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组,记作 1A ； 有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作12,B B ；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作1234,,,C C C C .从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：1112111213(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A C A C A C ,1412111213(,),(),(,),(,),(,)A C B B B C B C B C ,1421(,),(,)B C B C 222324121314(,),(,),(,),(,),(,),(,)B C B C B C C C C C C C ,232434(,),(,),(,)C C C C C C 共21个基本事件. 其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个 ．所以该运动员得1分的概率62=217P =. 20.解析：(1)证明：设220101,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2220,(0)4x D x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 由'2x y =得02BD x k =，又124BD x x k +=，所以01224x x x +=，即1202Mx x x x +==， 故AM 与y 轴平行.(2)法一：由,,A B F 共线可得AF BF k k =，所以()01014()0x x x x +-=，因010x x -≠，所以014x x =-，即104x x =-. 直线BD 的方程为20011204=()2242x x x x y x x x -+=++， 所以2020422M x y x =++. 由(1)得30014164x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当004x x =，即02x =时等号成立，故S 的最小值为16. 法二：直线BD 的方程为2011()24x x y x x =-+，20101()24M x x y x x =-+.得2010()4M x x y y --=， 则30124ABD ABM x x S S ∆∆-==. 设直线:1AB y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=， 则201414x x k -=+≥，故160ABD S k ∆≥=（时等号成立).21.解析：(1)函数定义域为R ， 222(12)'()(1)x e x mx x m f x x mx -+-+=-+22(1)(1)=(1)x e x x m x mx ----+. ①当11m +=，即0m =时，'()0f x ≥,此时()f x 在R 上单调递增；②当11m +>，即02m <<，(,1)x ∈-∞时，'()0f x >，此时()f x 单调递增，(1,1)x m ∈+时，'()0f x <，此时()f x 单调递减，(1,)x m ∈++∞时，'()0f x >，此时()f x 单调递增.③当11m +<，即20m -<<时，(,1)x m ∈-∞+，'()0f x >，此时()f x 单调递增，(1,1)x m ∈+时，'()0f x <，此时()f x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，此时()f x 单调递增.综上所述，①当0m =时，()f x 在R 上单调递增，②当02m <<时，()f x 在(,1)-∞和(1,)m ++∞上单调递增，()f x 在(1,1)m +上单调递减， ③当20m -<<时，()f x 在(,1)m -∞+ 和(1,)+∞上单调递增，()f x 在(1,1)m +上单调递减.(2)当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由(1)知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,1)m +上单调递减. 令()g x x =.①当[0,1]x ∈时，min max ()(0)1,()1f x f g x ===，所以函数()f x 图象在()g x 图象上方.②当[1,1]x m ∈+时，函数()f x 单调递减，所以其最小值为1(1)2m e f m m ++=+，()g x 最大值为1m +，所以下面判断(1)f m +与1m +的大小，即判断x e 与(1)x x +的大小，其中311,2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦， 令()(1),'()21x x m x e x x m x e x =-+=--，令()'()h x m x =，则'()2x h x e =-， 因311,2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，所以'()20x h x e =->，'()m x 单调递增； 所以'(1)30m e =-<，323'402m e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭故存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 使得000'()210x m x e x =--=，所以()m x 在0(1,)x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以022*********()()=211x m x m x e x x x x x x x ≥=--+--=-++， 所以031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10m x x x =-++>， 即2(1)e x x >+，也即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.22.解析：(1)212222sin cos 2sin 2cos 22C ρρθθρθρθ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭：，化为直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=.把2C 的方程化为直角坐标方程为y a =，因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线y a =经过圆心(1,1)， 解得1a =，故2C 的直角坐标方程为1y =.(2)由题意可得，=22sin 4OA πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， =22sin +22cos 2OB πϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，=22sin OC ϕ，=22cos 4OD πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以+OA OC OB OD ⋅⋅8sin sin 8cos cos 44ϕπϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2=8cos 84242π=⨯=. 23.解析：（1）证明：函数()||,0f x x a a =-<， 则1111()||||()f x f x a a x a a x a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+--=-++≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111=||2||2||||x x x x x x +=+≥= （当且仅当||1x =时取等号）. (2)()(2)|||2|,0f x f x x a x a a +=-+-<.当x a ≤时，()(2)223f x f x a x a x a x +=-+-=-， 则()(2)f x f x a +≥-；当2a a x <<时，()(2)2f x f x x a a x x +=-+-=-， 则()(2)2a f x f x a -<+<-； 当2a x ≥时，()(2)232f x f x x a x a x a +=-+-=-， 则()(2)2a f x f x +≥-，则()f x 的值域为,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 不等式1()(2)2f x f x +<的解集非空，即为122a >-，解得，1a >-，由于0a <， 则a 的取值范围是(1,0)-. 、。