向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图OC OB OA ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1∴O 是ABC ∆的重心 (2)若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===（3）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心(4) O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+AC OB BA OC BC OA 则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。

同理可证。

容易得到由以上结论知O 为△ABC 的垂心。

OABCDEOAB CD E(5) 设()+∞∈,0λ，则向量)cos cos (CAC AC BAB AB +λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC 的垂心[)+∞∈⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→→→,0,cos cos λλC AC AC B AB AB AP（6）若H 是△ABC(非直角三角形)的垂心，则S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA ·HA +tanB ·HB+tanC ·HC =0（7）若点O 为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O 为△ABC 的外心。

证明：因为，所以同理得由题意得，所以，得。

故点O为△ABC 的外心。

（8）D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且DP PB DP PC P ABC EP PC EP PA⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的外心 （9）若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin ∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0（10）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC BC AB BC AC BC AB B AC C AB B AC C ⋅⋅⋅+=+||||cos()||||cos ||||0||cos ||cos BC AB B BC AC C BC BC AB B AC C π⋅-⋅=+=-+=()||cos ||cos AB AC BC AB B AC C⊥+O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心. 证明：bACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bACc AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO bACc AB +)，令c b a bc ++=λ ∴c b a bc AO ++=（bACc AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a （11）设()+∞∈,0λ，则向量)(ACAC ABAB +λ必平分∠BAC ，该向量必通过△ABC 的内心;设()+∞∈,0λ，则向量)(ACAC ABAB -λ必平分∠BAC 的邻补角(),0()0AB AC AP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩为的内心，（12）O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB AC BA BC CA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB ∙-=∙-=∙-=（13）若O 是△ABC 的内心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =a ：b ：c故a ·OA +b ·OB +c ·OC =0 或sinA ·OA +sinB ·OB +sinC ·OC =0;（14）设O 为△ABC 所在平面内任意一点，I 为△ABC 的内心， * cb a OCc OB b OA a OI ++++=内心I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy Ca+b+c）证明：由I 是ABC ∆的内心⇔0a IA b IB c IC ⋅+⋅+⋅=。

(其中,,a b c 是ABC ∆三边)（见内心的充要条件的证明） OI OA AI OB BI OC CI =+=+=+()()()()a b c OI a OA AI b OB BI c OC CI ++=+++++=()aOA bOB cOC aAI bBI cCI aOA bOB cOC +++++=++cb a OCc OB b OA a OI ++++=, ∴I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy C a+b+c ）.（15）OC OB OA ==⇔O 为ABC ∆的外心。

与三角形“四心”相关的向量结论随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。

平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。

本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。

希望在得出结论的同时，能引起一些启示。

结论： 设O 点在ABC ∆内部，若()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S A O B C O A B O C ::::=∆∆证明： 已知O 点在ABC ∆内部，且()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0 设：OF OC r OE OB n OD OA m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，D O F AO C S mr S ∆∆=1，D O E AO B S mnS ∆∆=1， ∴r n m S S S AO B CO A BO C ::::=∆∆说明: 此结论说明当点O 在ABC ∆内部时，点O 把ABC ∆所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。

应用举例：设点O 在ABC ∆内部，且40OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与OBC ∆的面积之比是：A ．2：1B ．3：1C ．4：3D ．3：2分析：由上述结论易得：1:1:4::=∆∆AO B CO A BO C S S S ，所以2:34:6:==∆OBC ABC S S ，故选D 当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。

引申：设O 点在ABC ∆内部，且角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,, 结论1：若O 为ABC ∆重心，则0=++OC OB OA分析：重心在三角形的内部，且重心把ABC ∆的面积三等分. 结论2 ：O 为ABC ∆内心，则0=++OC c OB b OA a分析：内心在三角形的内部，且易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =c b a ::结论3： O 为ABC ∆的外心，则02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A 分析： 易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =sin2A ：sin2B ：sin2C.由结论3及结论：O 为ABC ∆的外心，H 为ABC ∆的垂心，则OC OB OA OH ++=可得结论4。

结论4：若H 为ABC ∆垂心，则()+-+HA A C B 2sin 2sin 2sin ()+-+HB B C A 2sin 2sin 2sin ()02sin 2sin 2sin =-+HC C B A 即0cos cos sin cos cos sin cos cos sin =++HC B A C HB C A B HA C B A 证明：∵对任意ABC ∆有OC OB OA OH ++=，其中O 为外心，H 为垂心， ∴()OC OB HA +-=，()OC OA HB +-=()OA OB HC +-=则由平面向量基本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数z y x ,,，使得0=++HC z HB y HA x ，即()()()0=+++++OC y x OB x z OA z y ，由结论3得：02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A所以有：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+Cy x B x z Az y 2sin 2sin 2sin ，⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=∴C B A z B A C y A C B x 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin所以可得：()+-+HA A C B 2sin 2sin 2sin ()+-+HB B C A 2sin 2sin 2sin ()02sin 2sin 2sin =-+HC C B A 化简后可得：0cos cos sin cos cos sin cos cos sin =++HC B A C HB C A B HA C B A应用举例：例1：已知O 为ABC ∆的内心，且0432=++OC OB OA ，则角A 的余弦值为 。

分析：由结论2可得4:3:2::=c b a ，所以由余弦定理可得：874324916cos =⨯⨯-+=A例2：已知ABC ∆的三边长为2,6,1===CA BC AB ，设ABC ∆的外心为O ，若BC t AB s AO +=，求实数t s ,的值。