古诺寡头竞争模型有两个参与人,分别称为企业1和企业2;每个企业的战略是选择产量;支付是利润,它是两个企业产量的函数.我们用q i ∈[0,∞)代表第i 个企业的产量,C i (q i )代表成本函数,P =P (q 1+q 2)代表逆需求函数(P 是价格;Q (P )是原需求函数).第i 个企业的利润函数为:2,1),()()(21=-+=i q C q q P q q i i i i π(*2*1,q q )是纳什均衡产量意味着 )()(),(max arg 11*211*211*1q C q q P q q q q -+=∈π)()(),(max arg 222*12*12*21q C q q P q q q q -+=∈π 找出纳什均衡的一个办法是对每个企业的利润函数求一阶导数并令其等于0.0)()()(1,121,12111=-+++=∂∂q C q q P q q q P q π 0)()()(2,221,22122=-+++=∂∂q C q q P q q q P q π 上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数)(21*1q R q = )(12*2q R q = 反应函数意味着每个企业的最优战略(产量)是另一个企业产量的函数.两个反应函数的交叉点就是纳什均衡),(**2*1q q q =.为了得到更具体的结果,让我们来考虑上述模型的简单情况,假定每个企业具有相同的不变单位成本,即:c q q C c q q C 222111)(,)(==,需求函数取如下线性形式:P=a-(q 1+q 2).那么,最优化的一阶条件分别为:0)(0)(2212212111=--+-=∂∂=--+-=∂∂c q q q a q c q q q a q ππ就是说,j 每增加1个单位的产量,i 将减少1/2单位的产量.解两个反应函数,我们得到纳什均衡为:)(31*2*1c a q q -== 每个企业的纳什均衡利润分别为:2*2*12*2*11)(91),(),(c a q q q q -==ππ 为了与垄断情况作比较,让我们计算一下垄断企业的最优产量和均衡利润.垄断企业的问题是:)(c Q a Q Max Q--=π 容易算出,垄断企业的最优产量为)(32)(21*2*1*c a q q c a Q -=+<-=; 垄断利润为22)(92)(41c a c a m ->-=π. 寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个企业在选择自己最优产产量时,只考虑对本企业利润的影响,而忽视对另一个企业的外部负效应.这是典型的囚徒困境问题.例1:设某一市场有1,2两个厂商,它们生产相同的产品.设厂商1的产量为q 1,厂商2的产量q 2,则市场总产量为Q=q 1+q 2.设P 是市场出清价格(可以将产品全部卖出去的价格),则P 是市场总产量的函数P=P(Q)=8-Q .再设生两个厂商的生产都无固定成本,且每增加,且每增加一单位产量的边际生产成本相等 C 1=C 2=2,即它们分别生产q 1和q 2产量的成本分别为2q 1和2q 2.最后设这两个厂商是同时决定各自的产量的,即在决策之前不知道另一方的产量.上述问题构成的博弈中,博弈方为厂商1和厂商2.它们的策略空间都是由不同的产量组成,因为产量受生产能力的限制,因此理论上产量是有一个上限的,但如果假设产量是连续可分得,则它们各自都有无限多种可选策略.该博弈中两博弈方的得益自然是各自的利润,用u 老表示,即各自的销售收入减去各自的成本,根据给定情况,分别为212111*********)](8[)(q q q q q q q q q C Q P q u --=-+-=-=222122212222262)](8[)(q q q q q q q q q C Q P q u --=-+-=-=两博弈方的得益(利润)取决于双方的策略(产量).本博弈中两博弈方都有无限多种可选策略,因而无法得益矩阵表示该博弈,但纳什均衡的概念同样适用,即对于两博弈方的一个策略组合),(**2*1q q q =,只要其中*1q 和*2q 相互是对方策略的最佳对策,就是一个纳什均衡.并且如果可证实它是该博弈中唯一的纳什均衡,则它同样是博弈的解.因此本博弈, (*2*1,q q )的纳什均衡的充分必要条件是*2*1q q 、的最大值问题:)6(max 21*2111q q q q q --和)6(max 22*1222q q q q q --的解. 因为求最大值的两个式子都是各自自变量的二次式,且二次项的系数都小于0,因此*1q 和*2q 只要能使它们各自对q 1和q 2的偏导数为0,就一定能实现它们的最大值.026*1*2=--q q 026*2*1=--q q 联立上两式,解得*1q =*2q =2,并且这是唯一的一组解.因此(2,2)是本博弈唯一的纳什均衡策略组合,也意味着它是本博弈的解.两个厂商将各生产2单位的产量,双方得益(利润)都为2⨯(8-4)-2⨯2=4,市场总产量为2+2=4,价格为8-4=4,两厂商的利润总和为4+4=8.上述是两个独立同时作产量决策,是按它们根据实现自身最大利益的原则行动而得到结果.那么这个结果究竟怎么样?两家厂商有没有真正实现自身的最大利益?从社会总体角度来看效率又如何?如果现在以总体利益目标的.如果现在以总体利益为目标来考虑市场的最佳产量,结果会有怎样的不同呢?首先可以根据市场的条件求出实现最大总得益的总产量.设总产量为Q,则总得益U=QP(Q)-2Q=6Q-Q 2很容易求得使总得益最大的总产量3*=Q ,最大总得益9*=u .将此结果与两个厂商独立决策、只追求自身利益时相比，总产量较小，而总利润却较高。
换句话说，如果两个厂商可以合作，联合起来决定产量，找出使总利益最大的产量后各自生产时更高的利益的一半（1.5），则各自可分享到比双方不合作，只考虑自己利益而独立决策时更高的利益（4.5>4）。
但是独立决策、缺乏协调机制的企业之间，这种合作并不容易实现，即使双方认识到了合作的好处，达成了一定的协议，这种协议也往往缺乏足够的强制力，最终时很难维持上述对双方都真正最有利的产量，原因主要是因为各生产一半产量实现最大利润的总产量的策略组合(1.5,1.5)不是纳什均衡，也就是说，在这个策略组合（产量组合）下，双方都可以通过独自改变（增加）自己的产量而得到更高的利润，它们都有突破限额1.5的冲动，在缺乏有足够强制力的协议等限制手段的情况下，这种冲动注定了它们不可能维持限额，最终是大家都增产，直至达到纳什均衡水平(2,2) ，实现将遵守限额还是突破限额作为两家厂商面临的选择，则可用古诺模型博弈矩阵表示这个博弈伯特兰德模型模型中厂商所选择的是价格而不是产量.产品有一定差异是指两家厂商的产品在品牌、质量和包装等方面有所不同的同类商品。
因此伯特兰德中厂商的产品之间有很强的替代性，但不是完全可替代，即价格不同时，价格较高的不会完全销不出去。
这种情况可用当厂商1和厂商2价格分别为P 1和P 2时，它们各自需求函数211112111),(P d P b a P P q q +-==和122222122),(P d P b a P P q q +-==来表示，其中d 1,d 2>0表示两个厂商产品有一定替代性的替代系数。
我们同样假设两家厂商无固定成本，边际生产成本分别为C 1和C 2。
最后，仍强调两厂商是同时决策的。
在该博弈中，两博弈方为厂商1和厂商2；它们各自的策略空间为],0[max 11P S =和],0[max 22P S =,其中max 1P 和max 2P是厂商1和厂商2还能卖出产品价格的最高价格；两博弈方的得益是它们各自的利润，即销售收入减去成本，都是双方价格的函数。
))((),(211111*********P d P b a C P q C q P P P u u +--=-==))((),(122222222222122P d P b a C P q C q P P P u u +--=-==我们利用反应函数的概念解博弈。
利用上述得益函数在偏导数为0时有最大值，很容易解得两厂商对对方策略（价格）的反应函数，分别为)(21)(211111211P d C b a b P R P ++== )(21)(122222122P d C b a b P R P ++== 纳什均衡（*2*1,P P ）必是两个反应函数的交点，即)(21*211111*1P d C b a b P ++= )(21*122222*2P d C b a b P ++=解此方程组，得：)(42)(41112121222221211*1C b a d d b b b C b a d d b b d P +-++-= )(42)(42222121111121212*2C b a d d b b b C b a d d b b d P +-++-= （*2*1,P P ）为博弈唯一的纳什均衡，将*2*1,P P 代入两得益函数则得两厂商的均衡得益如果2,5.0,1,2821212121========C C d d b b a a ，则可得20*2*1==P P ，且324*2*1==u u .本例是有产品的两寡头之间价格决策的伯特兰德模型，且仅仅是伯特兰德中较简单的一种特例。
更一般的情况是有n 个寡头的价格决策，并且产品也可以是完全无差别的。
对产品无差别的情况，则必须考虑消费者对价格的敏感性，如果所有的消费者对价格都非常敏感，则两厂商对其他厂商价格的反应函数，然后解出它们的交点即可。
值得一提的是，这种价格模型与古诺模型中的产量决策一样，其纳什均衡也不如各博弈方通过协商、合作得到的结果更佳。
豪泰林(Hotelling )价格竞争模型在古诺模型中,产品是同质的.在这个假设下,如果企业的竞争战略是价格而不是产量, 伯特兰德证明,即使只有两个企业,在均衡情况下,价格等于边际成本,企业的利润为零,与完全竞争市场均衡一样.这便是所谓的伯特兰德悖论. 解开这个悖论的办法之一是引入产品的差异性.如果不同企业生产的产品是有差异的,替代弹性就不会是无限的,此时消费者对不同企业的产品有着不同的偏好,价格不是他们感兴趣的唯一变量.在存在产品差异的情况下,均衡价格不会等于边际成本.产品差异有多种形式.我们现在考虑一种特殊的差异,即空间上的差异,这就是经典的豪泰林模型.在豪泰林模型中,产品在物质性能上是相同的,但在空间位置上有差异.因为不同位置上的消费者支付不同的运输成本,他们关心的是价格与运输成本之和,而不单是价格.假定有一个长度为1的线性城市,消费者均匀地分布在[0,1]区间里,分布密度为1.假定有两个商店,分别位于城市的两端,商店1在x=0,商店2在x=1,出售物质性能相同的产品.每个商品提供单位产品的成本为c ,消费者购买商品的旅行成本与离商店成比例,单位距离的成本为t .这样,住在x 的消费者如果在商店1采购,要花费tx 的旅行成本;如果在商店2采购,要花费t(1-x).假定消费者具有单位需求,即或者消费1个单位或者消费0个单位.消费者从消费中得到的消费剩余为s ’.我们现在考虑两商店之间价格竞争的纳什均衡. 假定两个商店同时选择自己销售的销售价格.为了简单起见,我们假定s ’相对于购买总成本(价格加旅行费用)而言足够大从而所有消费者购买一个单位的产品.令p i 为商店i 的价格,D i (p 1,p 2)为需求函数,i=1,2.如果住在x 的消费者在两个商店之间是无差异的,那么,所有住在x 左边的将在商店1购买,而住在x 右边的将商店2购买,需求分别为D 1=x,D 2=1-x .这里x 满足:p 1+tx=p 2+t(1-x)解上式得需求函数分别为:tt p p x p p D 2),(12211+-== tt p p x p p D 21),(21212+-=-= 利润函数分别为: ))((21),()(),(1212111211t p p c p t p p D c p p p +--=-=π ))((21),()(),(2122122212t p p c p tp p D c p p p +--=-=π 商店i 选择自己的价格p i 最大化利润πi ,给定p j ,两个一阶条件分别是:02121=-++=∂∂p t c p p i π 02212=-++=∂∂p t c p p i π 二阶条件是满足的.解上述两个一阶条件,得最优解为(注意对称性):t c p p +==*2*1每个企业的均衡利润为:221t ==ππ 我们把消费者的位置差异为产品差异,这个差异进一步解释为消费者购买的旅行成本.旅行成本越高,产品的差异就越大,均衡价格从而均衡利润也就越高.原因在于,随着旅行成本的上升,不同商店出售的产品之间的替代性下降,每个商店对附近的消费者的垄断力加强,商店之间的竞争更接近于垄断价格.另一方面,当旅行成本为0时,不同商店的产品之间具有完全的替代性,没有任何一个商店可以把价格定得高于成本,我们得到伯特兰德均衡结果.在以上的分析中,我们假定两个商店分别位于城市的两个极端.事实上,均衡结果对于商店的位置是敏感的.考虑另一个极端的情况,假定两个商店位于同一位置x.此时,他们出售的是同质的产品,消费者关心的只是价格,那么, 伯特兰德均衡是唯一的均衡:0,2121====ππc p p更为一般地,我们可以讨论商店位于位置的情况.假定商店1位于a ≥0,商店2位于1-b (这里b ≥0).为不失一般性,假定1-a-b ≥0(商店1位于商店2的左边).如果旅行成本为二次式,即旅行成本为td 2,这里d 是消费者到商店的距离,那么,需求函数分别为:)1(221),(12211b a t p p b a a x p p D ---+--+== )1(2211),(21212b a t p p b a b x p p D ---+--+=-= 需求函数的第一项是商店自己的”地盘”(a 是住在商店1左边的消费者,b 是住在商店2右边的消费者),第二项是位于两商店之间的消费者中靠近自己的一半,第三项代表需求对价格差异的敏感度.纳什均衡为:)31)(1(),(*1b a b a t c b a p -+--+= )31)(1(),(*2a b b a t c b a p -+--+= 当a=b=0时,商店1位于0,商店2位于1,我们回到前面讨论的第一种情况:t c p p +==)1,0()1,0(*2*1当a=1-b 时,两个商店位于同一位置,我们走到另一个极端:c a a p a a p =-=-)1,()1,(*2*1多人博弈的霍特林模型(1)N=2既有两台冷饮售卖机时，挤在中点（1/2，1/2）(2)N=3 这个博弈没有稳定的对局，更没有纳什均衡(3)N=4 两台挤在1/4处 两台挤在3/4处为纳什均衡。