浅谈中心极限定理摘要：中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是林德伯格-莱维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。
它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。
关键词：中心极限定理；正态分布；生活中的应用。
引言：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。
同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常是服从或近似服从正态分布。
这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。
在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
王勇老师讲到中心极限定理时，曾非常激动地说这个定理一被提出便震惊了全世界，而且重复了数遍。
由此足以见得中心极限定理的重要性。
目前我们研究的是独立同分布条件下的中心极限定理：林德伯格-莱维中心极限定理：设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn XY ni in σμ-=∑=1则对任意实数y ，有{}⎰∞--∞→=Φ=≤yt n n t y y Y P .d e π21)(lim 22这个中心极限定理是由林德伯格和莱维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。
只有当n 充分大时,nY 才近似服从标准正态分布)1,0(N ，而当n 较小时，此种近似不能保证。
也就是说，在n 充分大时，可用)1,0(N 近似计算与nY 有关事件的概率，而n 较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。
当)1,0(~N Y n 时，则有),(~),,(~221n N X n n N Xni iσμσμ∑=。
现如今旅游、汽车等行业越来越受欢迎。
在这些行业中就会用得到中心极限定理。
例如，某汽车销售点每天出售的汽车服从参数为λ=2的泊松分布，若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率。
[1]解：设i ξ为第i 天出售的汽车的数量，则36521......ξξξξ+++=为一年的总销量，由2)()(==i i Var E ξξ，知=)(ξE 365×2=730利用中心极限定理得P(ξ>700)=1-P(ξ≤700)≈1—)730730700(-Φ=1-Φ(一1．11)=0.8665在理论中，我们也可用它来解决一些比较抽象的问题，比如下面的极限求解问题。
例如，利用中心极限定理证明：21!lim 0=∑=-∞→nk k nn k n e [1] 证明：设{k ξ}独立同分布且k ξ～P(1)，k=1，2…….则a=()k E ξ=l ，2σ=()k Var ξ=1∵由泊松分布的可加性知∑=nk k1ξ～P(n)∴nn k k n k n i i n k k ek n k P n P -====∑∑∑∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛≤0011!ξξ 又∵由中心极限定理知：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===010111k n k n k k n k k P n P n P ξξξ ()()00111Φ→⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤-=∑=n k k n P ξ()∞→=n 21∴21!lim 0=∑=-∞→nk k nn k n e 如果在林德伯格-勒维中心极限定理中，nX 服从二项分布，就可以得到以下的定理。
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设n 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为p （0<p<1），记nS 为n 次试验中事件A 出现的次数，且记npqnp S Y n n -=*，则对任意实数y ，有dtey y Y P ytn n ⎰∞--∞→==≤2*221)()(lim πφ。
它表明，n 充分大时，npqnp S Y n n -=*分布近似服从与标准正态分布，常称为“二项分布收敛于正态分布”，正态分布是二项分布的极限分布，当n 充分大时，我们可以利用该定理的结论来计算二项分布的概率。
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的应用也很广泛，例如：假设某校要建新校区，里面有学生5000人，只有一个开水房。
由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。
假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：(1)未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？(2)至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？[2]解：（1）设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X ，则)01.0,5000(~B X 拥挤的概率是：∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤≤-=>=450k 500099.001.05000-145)(0 P 145)P(p kk k ξξ由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，n=5000，p=0.01，q=0.99，04.7,50==npq np故2389.0)1.7()71.0()04.7500()04.75045()450(=---=---=≤≤φφφφξP即拥挤的概率为7611.02389.01)45(=-=>ξP（2）欲求m ，使得95.0)0(≥≤≤m P ξ，则由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理可知，95.0)04.7500()04.750(≥---φφm由于0)09.7()04.7500(≈-=-φφ即95.0)04.750(≥-m φ查表得645.104.750≥-m即6.61≥m故需装62个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤。
保险与我们的生活息息相关。
中心极限定理在保险行业方面也有很大应用。
例如，某保险公司有2500个人参加保险，每人每年付1200元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.002，死亡时其家属可向保险公司领得20万元。
问：(1)保险公司亏本的概率有多大?(2)保险公司一年的利润不少于1010万元，200万元的概率各为多大? [3]分析：首先，我们先设一年内死亡的人数为随机变量X ，保险公司亏本的概率为P 。
因为题中人和人之间是独立的，而且死亡的概率都一样为0.002，因此比较容易看出，此题中的X 是服从二项分布的，我们也可用二项分布的方法把p 具体地求出来，但要想求出()kk k k X P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2500)998.0(002.02500绝非易事，更何况还要算上几千个呢？为此我们不妨用中心极限定理来求解它。
解：设X 为一年内死亡的人数，则)002.0,2500(~B X ，5=np ，99.1)1(=-p np (1)由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理知P(亏本)=(4.48)-1)4.995-15(-115)P(X -115) X ( P 300)(20X P φφ=≈≤=>=>=1-0.99993=0.00007所以，保险公司亏本的概率为0.00007，几乎为0。
(2)由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理知P(利润100≥)98.0)99.4510()10()10020300(=-≈≤=≥-=φX P X PP(利润200≥)5.0)99.455()5()20020300(=-≈≤=≥-=φX P X P以上结果说明，保险公司几乎不可能亏本．不过，关键之处是对死亡率的估计必须正确，如果所估计的死亡率比实际低，甚至低得多，那么，情况就会不同。
结论中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路。
用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明，只要样本容量足够地大，得自未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。
从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位。
参考文献：[1]杜伟娟,于文娟。
中心极限定理及其初步应用[J] 内蒙古电大学刊，2007 [2]孔祥凤，中心极限定理在管理中的应用[J] 西安邮电学院应用数理系，2009[3]孙蓓，中心极限定理及其在若干实际问题中的应用[D] 河南：开封基础教育研究室，2012（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。