考研数学分析真题集目录 南开大学 北京大学 清华大学浙江大学华中科技大学一、,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<>∀m a N m ,证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k n a ，a a kn k =∞→lim ，所以，ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n二 、,,0N ∃>∀ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>∃>∀δε当1'''δ<-x x 时，ε<-)''()'(x f x f对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x xε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>∃>∀δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。

三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('<x f 所以)(x f 递减，又2))((''21))((')()(a x f a x a f a f x f -+-+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以)(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。

四、⎰⎰==1,)(1)()(xdt t f x dt xt f x ϕ2)()()('x dt t f x x f x x⎰-=ϕ，22)(lim)(lim)(lim)0('02A x x f x dt t f xx x xx x ====→→→⎰ϕϕ， 2)(lim )(lim )()(lim )('lim 200200Ax dt t f xx f x dt t f xx f x xx x xx x =-=-=⎰⎰→→→→ϕ，)('x ϕ在0=x 连续。

五、当k m ≠时，不妨设k m <，⎰⎰--+--=1111)(2)(2])1[(])1[(!!21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m=--⎰-dx x x k k m m 11)(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ⎰-+--------11)1(2)1(211)1(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(=0])1][()1[()1(])1[(])1[(11)(2211)1(2)1(2=---==---⎰⎰-+-+-dx x x dx x x k m m k k m m k k当k m =时，⎰⎰----=1111)(2)(222])1[(])1[(!21)()(dx x x m dx x P x P m m m m m k m⎰⎰-+---------=--11)1(2121112211)(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(dxx x x x dx x x m m m m m m m m m m m m =⎰-+----11)1(212])1[(])1[(dx x x m m m m =⎰----=11)2(22])1][()1[()1(dx x x m m m m =⎰---112])1[()!2()1(dx x m mm=⎰--12])1[()!2()1(2dx x m m m六、J 是实数，,0,0>∃>∀δε当δ<T 时，当),(1i i i x x -∈ξ时，εξ<--∑=-ni i iiJ x xf 11))((⎰∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→10101lim dx x nn i s sn i n ，当1->s 时，该积分收敛。

七、∑=-nk k1)1(有界，21x n +在),(+∞-∞上单调一致趋于零，由狄利克雷判别法知，∑∞=+-12)1(n n x n 在),(+∞-∞上一致收敛，∑∞=+121n x n 与∑∞=11n n同敛散，所以发散； 当0=x 时，∑∞=+122)1(n n x x 绝对收敛，当0≠x 时，∑∞=+122)1(n nx x 绝对收敛；e nn x x x R nnn 1)11(11)1(1)(22→+=+=取，所以不一致收敛 八、1.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=----=-+-=-=s ssssstdttdt dts t dt t s dt s t dt t s dt t s s I 0101110ln ln )ln()ln()ln()ln(ln )(111)(''),1ln(ln )('<---=-+-=ss s I s s s I ，当21=s 时，⎰⎰+=--=-=2102112ln )21ln 21(2ln 2)(dt tdt s I2. v x y xy xy y x v u x y v xy u 32,,),(),(,,222=-=∂∂==,⎰⎰==31313ln 3231dv v du J3.y x xy y x dxdyD y x y x J D +=++-----=⎰⎰22222:])1(1[3⎰⎰⎰⎰--++-+-+==++=-+=032434344342cos sin 1cos sin 0))4(2sin 2())4(2sin 1(338338)cos sin 1()cos (sin 33)cos sin sin cos (34πππππθθθθππθθθθθθθθθθθdx x x d drr r r r d J⎰--=π032)2cos 2()2cos 1(338dx x x =--⎰π32)2cos 2()2cos 1(dx x x ⎰⎰⎰+=+=+20322203224324)cot 3(sin 8)cos sin 3(sin 42)sin 21(sin 4πππx x dx x x xdx dx x x⎰⎰⎰⎰⎰=+==+=+=+-=∞∞20220400323223218)2cos 1(272cos 278)1(278)3(8)cot 3(cot 8ππππdx x xdx x dx x dx x x d J=π2734南开大学年数学分析一、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=；)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w二、设数列}{n a 非负单增且a a nn =∞→lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞→121][lim解：因为an 非负单增，故有n n n nnn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤由a a n n =∞→lim ；据两边夹定理有极限成立。

三、设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足：（1） 极限)(lim 0x f x +→存在（2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim 20x x x +→α=)]()1(2[lim 221420n nn x x o nx x x x +-++--→+α极限存在则2+α0≥知α2-≥(2)因为)(lim 0x f x -→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α（3）0)0(='-f 所以要使f(x)在0可导则1->α四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关解；令U=22y x+则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=21du u f l )(⎰又f(x)在R 上连续故存在F （u ）使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22所以积分与路径无关。

（此题应感谢小毒物提供思路） 五、设f(x)在[a,b]上可导，0)2(=+ba f 且Mx f ≤')(,证明2)(4)(a b Mdx x f b a -≤⎰ 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f bab a)2)(()(+-'=⎰⎰ξ22)(4])2()[)2)((a b M dx b a x dx x M dx b a x f bb a ba-=+-+-≤+-'≤⎰⎰+ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。

∑n a n sin 发散a) 证明∑收敛n an sinb) 证明1lim=∞→n nn v u 其中)sin sin (k ak k a u k n +=∑；)sin sin (k ak k ak v n -=∑证：（1）因为21sin 1sin ≤∑k 而}{n a 单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知∑收敛n an sin（2）因为正项级数∑n a n sin 发散则∑∞→∞→)(sin n k ak 又由上题知∑有界k ak sin 故有1lim=∞→nnn v u七、设dx xxe t F tx sin )(1⎰∞+-= 证明 （1）dx xxe txsin 1⎰∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续证：（1）因dx xx ⎰∞+1sin 收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；又txe -在x>=1,t>=0 单调且一致有界)0,1(10≥≥∀≤≤-t x e tx由阿贝尔判别法知一致收敛（2）],[0,),,0[00βαβα∈≥∃+∞∈∀t t 使由上题知，F （t ）在],[βα一致收敛，且由xxetxsin -在（x,t ）],[),1[βα⨯+∞∈上连续知F （t ）在],[βα连续所以在0t 连续，由0t 的任意性得证八、令)}({x f n 是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意0x ],[b a ∈)}({0x f n 是一个有界数列 （2）对任意>ε，存在一个εδδ<-<-∈>)()(,],[,,0y f x f n ，y x b a y x n n 有对一切自然数时且当求证存在一个子序列)}({x f kn在[a,b]上一致收敛证：对任意x ],[b a ∈，)}({x f n 是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为)}({x f kn ，又令U=]},[),({b a x x u x ∈δ则U 为[a,b]的一个开覆盖集，由有限覆盖定理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为),(),(11mx m x x u x u δδ于是对N能找到一,0>∀ε>0，),,2,1(,,21m i x N ，n n i k k =∀>∀有3)()(22ε<-i n i n x f x f k k 令},,min{1mx x δδδ=则由条件（2）知对上述0>∀ε3)()(,],,[,0εδδ<-<-∃∈∀>∃l n n l l x f x f n ，x x x b a x 有对一切自然数使于是有有],[],,[,,,,0,0b a x b a x N n n K t k K l t k ∈∃∈∀>>∀>∃>∀ε)()()()()()()()(x f x f x f x f x f x f x f x f kkklttktn l n l n l n l n n n n -+-+-=-≤)()(l n n x f x f tt-+)()(l n l n x f x f kl-+)()(x f x f kkn l n -ε<由柯西准则得证。