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中等数学
2005 年全国高中数学联赛
一 、选择题 (每小题 6 分 ,共 36 分) 1. 使关于 x 的不等式 x - 3 + 6 - x ≥k
有解的实数 k 的最大值是 ( ) .
(A) 6 - 3
(B) 3
(C) 6 + 3
(D) 6
2. 空间四点 A 、B 、C 、D 满足| AB | = 3 ,
A 2
+ BB1 cos
B 2
+ CC1 cos
C 2
sin A + sin B + sin C
的值为 ( ) .
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
4. 如图 1 , ABCD - A′B′C′D′为正方体. 任 作平面 α 与对角线
AC′垂直 ,使得 α 与正
方体 的 每 个 面 都 有 公
a1 7
+
a2 72
+
a3 73
+
a4 74
|
ai ∈T , i = 1 ,2 ,3 ,4
.
将
M 中的元素按从大到小的顺序排列 ,则第
2 005 个数是 ( ) .
(A)
5 7
+
5 72
+
6 73
+
3 74
(B)
5 7
+
5 72
+
6 73
+
2 74
(C)
1 7
+
1 72
+
0 73
+
4 74
(D)
2005 年第 12 期
2 a2 + a + 1 > 3 a2 - 4 a + 1. 所以 , a2 - 5 a < 0. 故 0 < a < 5.
结合
a>1或
a<
1 3
,知 0 <
a<
1 3
或
1
<
a < 5.
9. 4π3 .
设 f ( x) = cos ( x +α) + cos ( x +β) + cos ( x +γ) .
| BC| = 7 ,| CD | = 11 ,| DA| = 9. 则 AC·BD
的取值 ( ) .
(A) 只有一个
(B) 有二个
(C) 有四个
(D) 有无穷多个
3. △ABC 内接于单位圆 , 三个内角 A 、
B 、C 的平分线延长后分别交此圆于点 A1 、
B1 、C1 . 则
AA1 cos
1 7
+
1 72
+
0 73
+
4 74
.
二
、7.
521 + 6
1
.
由题设知 ,f ( x) 的表达式中的各项构成首项为
1 、公比为 - x 的等比数列.
由等比数列的求和公式得
f ( x)
=
(
-
x) 21 x-
1
1
=
x21 x
+1 +1
.
令
x
=
y + 4 ,得
g ( y)
=
(y
+ 4) 21 y +5
+ 1.
,当 β-
α=
γ-
β=
2π时 3
,有 β=α+
2π 3
,
γ=α+ 4π3 . 对任意的 x ∈R ,记 x +α=θ. 由于三点
(cos θ,sin θ) ,
cos
θ+
2π 3
,sin
θ+
2π 3
,
cos
θ+
4π 3
,sin
θ+
4π 3
构成单位圆 x2 + y2 = 1 上正三角形的三个顶点 ,其
中心位于原点 ,显然 ,有
cos ( x +γ) = 0 ,则 γ- α=
.
10. 如图 2 ,四面体
DAB C
的体积为
1 6
,且
2005 年第 12 期
满足 ∠ACB = 45°,
AD + BC + AC = 3. 2
则 CD =
.
11. 若 正 方 形
ABCD 的一条 边 在
图2
直线 y = 2 x - 17 上 ,另外两个顶点在抛物线
1 7
+
1 72
+
0 73
+
3 74
二 、填空题 (每小题 9 分 ,共 54 分)
7. 将关于 x 的多项式
f ( x) = 1 - x + x2 - x3 + …- x19 + x20
表为关于 y 的多项式
g ( y) = a0 + a1 y + …+ a20 y20 ,
其中 y = x - 4. 则 a0 + a1 + … + a20 =
cos θ+ cos
θ+
2π 3
+ cos
θ+
4π 3
=0,
即 cos ( x +α) + cos ( x +β) + cos ( x +γ) = 0.
2+ 2
3
+
π 4
.
①
因为
-
π 2
<
22
3
<
0
,
3π 4
<
2+ 2
3
+
π 4
<π,
所以 ,sin
22
3 < 0 ,sin
故式 ①< 0.
2+ 2
3
+
π 4
> 0.
因此 ,sin 2 - sin 3 < cos 2 - cos 3. 则曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆.
6. C. 用[ a1 a2 …ak ] p 表示 k 位 p 进制数 ,将集合 M 中的每个数乘以 74 ,得 M′= { a1 ×73 + a2 ×72 + a3 ×7 + a4| ai ∈T , i = 1 ,2 ,3 ,4} = { [ a1 a2 a3 a4 ]7 | ai ∈T , i = 1 ,2 ,3 ,4}. M′中的最大数为[ 6 666 ]7 = [2 400 ]10 . 在十进制数中 ,从 2 400 起按从大到小顺序排列 的第 2 005 个数是 2 400 - 2 004 = 396. 而 [ 396 ]10 = [1 104 ]7 ,将此数除以 74 ,便得 M 中的数为
y = x2 上 , 则 该 正 方 形 面 积 的 最 小 值 为
.
12. 如果自然数 a 的各位数字之和等于
7 ,那么 ,称 a 为“吉祥数”. 将所有吉祥数从
小到 大 排 成 一 列 a1 , a2 , a3 , …, 若 an =
2 005 ,则 a5 n =
.
三 、解答题 (每小题 20 分 ,共 60 分)
3. A. 如图 4 ,联结 BA1 ,则
AA1 = 2sin
B
+
A 2
= 2cos
B 2
-
C 2
.
图4
28
故 AA1 cos
A 2
= 2cos
B 2
-
C 2
·cos
A 2
π
π
= cos 2 - C + cos 2 - B
= sin C + sin B .
同理 , BB1 cos
B 2
= sin A + sin
点 B . 点 C 在抛物线上 ,点 E 在线段 AC 上 ,
满足
AE EC
= λ1
,点
F
在线段
BC
上
,满足
BF FC
=
λ2 ,且 λ1 + λ2 = 1 ,线段 CD 与 EF 交于点 P.
当点 C 在抛物线上移动时 ,求点 P 的轨迹
方程.
加试题
一 、(50 分) 如图 3 ,在 △ABC 中 ,设 AB
C,
CC1 cos
C 2
=
sin
A
+
sin
B.
则 AA1 cos
A 2
+ BB1 cos
B 2
+ CC1 cos
C 2
= 2 (sin A + sin B + sin C) .
ห้องสมุดไป่ตู้
4. B.
如图 5 ,将正方体切
去两 个 正 三 棱 锥 A -
A′BD与 C′- D′B′C 后 ,得
到一个以平行平面 A′BD
放置在圆周的九个等分点上 ,每个等分点上
各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码
之差的绝对值之和为 S . 求使 S 达到最小值
的放法的概率. (注 :如果某种放法 ,经旋转或
镜面反射后可与另一种放法重合 ,则认为是
相同的放法)
15. 过抛物线 y = x2 上的一点 A (1 ,1) 作
抛物线的切线 ,分别交 x 轴于点 D ,交 y 轴于
13. 数列{ an }满足
a0 = 1 , an + 1 = 7 an +