常数数 完l项全o不相i[g t同同p(的，y回归1)系 ]loi (g t p1 )1 ln 1x 1 1 p1 p 12 x2 l n p 2 kx p p k1 3p4
lo i[tg p (y2 ) ]lo i(tg p 1p 2)l n 1 p (1 p 1 p 2 p 2) l np p 1 3 p p 2 4
p(1)=p1 ，y 取第二个值的概率p(2)=p2 -p1，y 取第三个值的概率 p(3)=1- p2 。它们的截距不同，斜率相同，所以是J-1条平行直线 族。多值因变量logistic回归模型要求进行数据的平行性检验。
• 平行性检验（只适用于位置模型/位置参数/斜率系数）
• 当因变量维多值变量时，模型包含多个回归方程。Logistic回 归分析要求这多个回归方程中自变量的系数是相等的。因此 需要做平行行检验，也称为比例比数假设检验（test fo the proportional odds assumption），使用的方法是计分检验法。 当P>a时，接受平行的原假设。否则，应该将因变量的某些 值进行合并，减少因变量的取值个数，使得多值变量logistic 回归模型平行性成立。还可以尝试其他链接函数。
• 与名义多分类因变量有所不同，定性有序多分类因变量采用 累积logit模型，该模型可利用有序这一特点，得到比基线类别有更简单解释的模型。
• Y的累积概率是指Y落在一个特定点的概率，对结果为类别j 时，其累积概率为：
p ( Y jx ) p 1 p 2 p j, k ) 1
• Logistic回归
因变量
二项Logistic回归
多项Logistic回归
有序回归 Probit回归
第14章 有序回归
（有序多分类因变量Logistic回归）
• 14.1 有序回归的基本思想 • 14.2 有序回归的案例分析
14.1 有序回归的基本思想
• 研究中常遇到反应变量为有序多分类（k>2）的资料，如城 市综合竞争力等级、满意度等可以划分为低、中、高。
• 根据上述公式，可以分别求出：
• 由上述建立的模型可以看出，这种模型实际上是依次
将反应变量按不同的取值水平分割成两个等级，对这
两个等级建立反应变量为二分类的Logistic 回归模型。
不管模型中反应变量的分割点在什么位置，模型中各
自变量的系数都保持不变，所改变的只是常数项。此
时求出的OR 值表示自变量每改变一个单位，反应变量
1,当 jk
J等级分为两类：{1,,j } 与 { j+1,,k}
在这两类的基础上定义的 logit 表示:属于后 k-j 个等级的累积 概率与前j个等级的累积概率的优势的对数，故该模型称为累 积优势模型 (cumulative odds model)。
第一个模型表示了y 取第一个值的概率p1与x的关系；第二个模 型表示了y 取前两个值的累积概率p2与x的关系。这两个模型的 常数项不同，回归系数完全相同的。 y 取第一个值的概率
21x 12x2 kxk
lo i[tp g (y 3 ) ]lo i(tp g 1 p 2 p 3 ) l n 1 p (1 p 1 p 2 p 2 p 3 p 3 ) l n p 1 p p 2 4 p 3
31 x 12 x 2 kx k
张文彤版本的常数项 前均为负号
• 累积概率的模型并不利用最后一个概率，因为它必然等于1
14.1 有序回归的基本思想
lo i(tp g j) l n 1 p p jj j1 x 12 x 2 n x n
pj = p(y≤j | x)，它表示 y 取前 j 个值的累积概率。
累积概pj率函p数(y：jx) 1 eexx p jp j( (x )x),当 1jk1
提高一个及一个以上等级的比数比。 ORexp(i)
• 张文彤认为，这里拟合的模型中常数项之前的符号应
当是“负号”，原因在于此处的常数项正好表示低级
别和高级别相比的情况，且必然有
， 但由
于研究者主要关心的是各参数（系数）的大小，因此
这种差异影响不大。并且由SPSS给出的系数无需再添
加符号。
• 某大学医院外科采用两种不同的绷带和两种不同的包扎 方式进行腿溃疡的治疗处理。治疗的结果分三种：不愈、 有效和痊愈。试分析治疗方法对治疗效果的影响。
• 如果各种连接函数都无法满足平行性假定，则需要考虑回归 系数是否会随着分割点而发生改变。此时最好使用无序多分 类的Logistic 回归进行模型拟合，然后再根据系数估计值考 虑如何进行处理。
• 以4 水平的反应变量为例，假设反应变量的取值为1 、2 、3 、 4 ，相应取值水平的概率为p1、p2、p3、p4，则此时进行 Logit 变换的分别为p1、p1+p2、p1+p2 +p3，对k 个自变量拟 合三个模型如下:
• 设因变量 y 表示治疗效果，0=不愈、1=有效、2=痊愈。 设自变量x1表示绷带种类，自变量 x2 表示包扎方式。
• 对于多值因变量模型，平行性假设决定了每个自变量的 OR值对于前k-1个模型是相同的。例如，变量x1的 OR=5.172，它表示使用第一种绷带治愈腿溃疡的可能性 是使用第二种绷带的5.172倍；它也表示使用第一种绷带 至少有效的可能性是使用第二种绷带的5.172倍。
多元回归中的几种重要模型
• 第一部分：多重共线情况的处理
– 第10章 岭回归分析（ Ridge Regression ）
• 第二部分：自变量中含定性变量的处理 – 第11章 自变量中含有定性变量的回归分析
• 第三部分：因变量中含有定性变量情况的处理 – 第12章 二项Logistic回归 – 第13章 多项Logistic回归 – 第14章 （等级回归分析） – 第15章 Probit回归 – 第16章 最佳尺度回归
14.1 有序回归的基本思想
• 有序回归模型的类型：
当定性因变量y取k个顺序类别时，记为1，2，…，k，这 里的数字1，2，…，k仅表示顺序的大小。