中考数学压轴题汇总（一）17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C 与y 轴相切于D 点，与x 轴相交于A （2，0）、B （8，0）两点，圆心C 在第四象限. （1）求点C 的坐标；（2）连结BC 并延长交⊙C 于另一点E ，若线段．．BE 上有一点P ，使得 AB 2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由；（3）在直线．．BE 上是否存在点Q ，使得AQ 2＝BQ·EQ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，也请说明理由.[解] （1） C （5，-4）；（2）能。

连结AE ，∵BE 是⊙O 的直径， ∴∠BAE=90°.在△ABE 与△PBA 中，AB 2＝BP· BE , 即ABBE BPAB =, 又∠ABE=∠PBA, ∴△ABE∽△PBA .∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE .（3）分析：假设在直线EB 上存在点Q ，使AQ 2＝BQ· EQ. Q 点位置有三种情况： ①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C 即点Q ；②若无两条等长，且点Q 在线段EB 上，由Rt△EBA 中的射影定理知点Q 即为AQ⊥EB 之垂足；③若无两条等长，且当点Q 在线段EB 外，由条件想到切割线定理，知QA 切⊙C 于点A.设Q()(,t y t ),并过点Q 作QR⊥x 轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程：① 当点Q 1与C 重合时，AQ 1=Q 1B=Q 1E, 显然有AQ 12＝BQ 1· EQ 1 , ∴Q 1(5, -4)符合题意；② 当Q 2点在线段EB 上， ∵△ABE 中，∠BAE=90° ∴点Q 2为AQ 2在BE 上的垂足， ∴AQ 2=1048=⋅BEAE AB = 4.8（或524）. ∴Q 2点的横坐标是2+ AQ 2·cos ∠BAQ 2= 2+3.84=5.84,又由AQ 2·sin ∠BAQ 2=2.88, ∴点Q 2（5.84，-2.88）, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-257225146，或③方法一：若符合题意的点Q 3在线段EB 外,则可得点Q 3为过点A 的⊙C 的切线与直线BE 在第一象限的交点. 由Rt△Q 3BR∽Rt△EBA，△EBA 的三边长分别为6、8、10, 故不妨设BR=3t ，RQ 3=4t ，BQ 3=5t, 由Rt△ARQ 3∽Rt△EAB 得ABRQ EAAR 3=，即64836t t =+得t=718， 〖注:此处也可由433=∠=∠AEB tg AR Q tg 列得方程43634=+t t ；或由AQ 32 = Q 3B·Q 3E=Q 3R 2+AR 2列得方程()()()226345105++=+t t t t )等等〗∴Q 3点的横坐标为8+3t=7110， Q 3点的纵坐标为772， 即Q 3（7110，772）. 方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE 过B(8, 0), C(5, -4), ∴直线BE 的解析式是33234-=x y . 设Q 3（t ，33234-t ）,过点Q 3作Q 3R⊥x 轴于点R, ∵易证∠Q 3AR =∠AEB 得 Rt△AQ 3R∽Rt△EAB,∴EAAB AR RQ=3 , 即 86233234=--t t , ∴t=7110 ,进而点Q 3 的纵坐标为772，∴Q 3（7110，772）.方法三：若符合题意的点Q 3在线段EB 外,连结Q 3A 并延长交y 轴于F, ∴∠Q 3AB =∠Q 3EA ，433=∠=∠=∠AEB tg AB Q tg OAF tg ,在R t△OAF 中有OF=2×43=23，点F 的坐标为（0，23-）, ∴可得直线AF 的解析式为2343-=x y ,又直线BE 的解析式是33234-=x y , ∴可得交点Q 3（7110，772）. 18.（2005上海长宁）如图1，抛物线关于y 轴对称，顶点C 坐标为（0，h ）(h>0)， 交x轴于点A （d,0）、B （-d,0）（d>0）。

（1）求抛物线解析式（用h 、d 表示）；（2）如图2，将ABC 视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x 轴，垂足依次在线段AB 的6等分点上。

h=9米。

(i )求拉杆⑤DE 的长度；(ii)若d 值增大，其他都不变，如图3。

拉杆⑤DE 的长度会改变吗？(只需写结论) （3）如图4，点G 在线段OA 上，OG=kd （比例系数k 是常数，0≤k ≤1），GF ⊥x 轴交抛物线于点F 。

试探索k 为何值时，tg ∠FOG= tg ∠CAO ？此时点G 与OA 线段有什么关系？[解] （1）用顶点式，据题意设y=ax 2+h 代入A （d ，0）得a=2dh - ∴y=2d h -x 2+h (2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=29d -x 2+9 据题意OE=32d ，设D （32d ，y D ） 点D 在抛物线上，y D =29d -(32d)2+9=5，∴DE=5米。

(ii) 拉杆⑤DE 的长度不变。

（3）OG=kd ，∴点F 坐标可设（kd ，y F ）代入y=2dh -x 2+h ，得： y F = h(1－k 2)tg ∠FOG= tg ∠CAO ，kd k h )1(2- =dh112=-k k 012=-+k k 解得2151-=k 2152+=k （∵0<k<1，舍） 215-=k ，此时点G 是线段OA 的黄金分割点。

19.（2006上海金山）已知：抛物线经过A （2，0）、B （8，0）、C （0，3316）x图4（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为P ，把△APB 翻折，使点P落在线段AB 上（不与A 、B 重合），记作/P ，折痕为EF ，设A /P = x ，PE = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当点/P 在线段AB 上运动但不与A 、B 重合时，能否使△EF /P 的一边与x 轴垂直？若能，请求出此时点/P 的坐标；若不能，请你说明理由。

[解] （1）设)8)(2(--=x x a y把)3316,0(代入得 33=a ∴)8)(2(33--=x x y 即33163310332+-=x x y （2）顶点P （)33,5- AP=AB=BP=6 ∴ 0'60=∠PAP 作AP G P ⊥'于G ，则x AG 21=，x G P 23'= 又y PE E P =='，y x EG --=216 在EG P Rt '∆中，222)216()23(y y x x =--+ ∴ )60(123662<<-+-=x xx x y（3）若x EP ⊥'轴 则x y 26=-x xx x 21236662=-+-- 36121-=x ，36122+=x （舍去）∴ )0,3614('-PCO若x FP ⊥'轴 则x y 216=- x x x x 211236662=-+-- 6363-=x ，6364--=x （舍去）∴ )0,436('-P若x EF ⊥轴， 显然不可能。

∴ )0,3614('-P 或 )0,436('-P20. （2006湖北十堰）已知抛物线1C ：22y x mx n =-++（m ，n 为常数，且0m ≠，0n >）的顶点为A ，与y 轴交于点C ；抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，其顶点为B ，连接AC ，BC ，AB ．注：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．（1）请在横线上直接写出抛物线2C 的解析式：________________________； （2）当1m =时，判定ABC △的形状，并说明理由；（3）抛物线1C 上是否存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形？如果存在，请求出m 的值；如果不存在，请说明理由．[解] （1）22y x mx n =--+．（2）当1m =时，ABC △为等腰直角三角形． ·········· 3分理由如下：如图：点A 与点B 关于y 轴对称，点C 又在y 轴上，AC BC ∴=．过点A 作抛物线1C 的对称轴交x 轴于D ，过点C 作CE AD ⊥于E ．∴当1m =时，顶点A 的坐标为()11A n +，，1CE ∴=．又点C 的坐标为()0n ，，11AE n n ∴=+-=．AE CE ∴=．从而45ECA =∠，45ACy ∴=∠．由对称性知45BCy ACy ==∠∠，90ACB ∴=∠．ABC ∴△为等腰直角三角形．（3）假设抛物线1C 上存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形，则PC AB BC ==．x yO由（2）知，AC BC =，AB BC AC ∴==． 从而ABC △为等边三角形．30ACy BCy ∴==∠∠．四边形ABCP 为菱形，且点P 在1C 上，∴点P 与点C 关于AD 对称．PC ∴与AD 的交点也为点E ，因此903060ACE =-=∠．点A C ，的坐标分别为()()20A m m n C n +，，，，22AE m n n m CE m ∴=+-==，． 在Rt ACE △中，2tan 603AE m CE m===．3m ∴=，3m ∴=±．故抛物线1C 上存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形，此时3m =±．21.（2006湖北宜昌）如图，点O 是坐标原点，点A （n ，0）是x 轴上一动点(n ＜0）以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且OB ＝2OA ．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90o 得矩形AGDE ．过点A 的直线y ＝kx ＋m 交y 轴于点F ，FB ＝FA ．抛物线y=ax 2+bx+c 过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM ⊥x 轴，垂足为点M ． (1)求k 的值；(2)点A 位置改变时，△AMH 的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．[解] （1）根据题意得到：E （3n ，0）， G （n ，－n ）当x ＝0时，y ＝kx ＋m ＝m ，∴点F 坐标为（，m ）∵Rt △AOF 中，AF 2＝m 2＋n 2， ∵FB ＝AF ，∴m 2＋n 2＝(-2n －m)2，化简得：m ＝－0.75n ，对于y ＝kx ＋m ，当x ＝n 时，y ＝0， ∴0＝kn －0.75n ， ∴k ＝0.75y y xOMHG F EDC B A（2）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点E 、F 、G ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=c c nb a n n c nb a n 75.039022解得：a ＝n 41，b ＝－21，c ＝－0.75n∴抛物线为y=n 41x 2－21x －0.75n解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=nx y n x x n y 75.075.075.021412 得：x 1＝5n ，y 1＝3n ；x 2＝0，y 2＝－0.75n∴H 坐标是：（5n ，3n ），HM ＝－3n ，AM ＝n －5n ＝－4n ， ∴△AMH 的面积＝0.5×HM ×AM ＝6n 2；而矩形AOBC 的面积＝2n 2，∴△AMH 的面积∶矩形AOBC 的面积＝3:1，不随着点A 的位置的改变而改变．22.（2005黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边AB 在x 轴上，AB=25，顶点C 在y 轴的负半轴上，tan∠ACO=34，点P 在线段OC 上，且PO 、PC 的长(PO<PC)是关于x 的方程x 2-(2k+4)x+8k=O 的两根． (1)求AC 、BC 的长； (2)求P 点坐标；(3)在x 轴上是否存在点Q ，使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是梯形?若存在，请直接写出直线PQ 的解析式；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵ ∠ACB=900，CO⊥AB，∴ ∠ACO=∠ABC． ∴ tan∠ABC=34，Rt△ABC 中，设AC=3a ，BC=4a 则AB=5a ，5a=25 ∴ a=5 ∴ AC=15， BC=20(2)∵ S △ABC =12AC·BC=12OC·AB， ∴ OC=12∴ PO+PC=4+2k=12． ∴ k=4∴ 方程可化为x 2-12x+32=O ．解得x 1=4，x 2=8 ∵ PO<PC．∴ PO=4． ∴ P(O，-4) (3)存在，直线PQ 解析式为：y=- 43x-4或y=- 427-423.（2006黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长(0A<OB)是方程x 2-18x+72=0的两个根，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，OD=2CD ． (1)求点C 的坐标；(2)求直线AD 的解析式；(3)P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)OA=6，OB=12点C 是线段AB 的中点，OC=AC 作CE⊥x 轴于点E ．∴ OE=12OA=3，CE=12OB=6．∴ 点C 的坐标为(3，6)(2)作DF⊥x 轴于点F△OFD∽△OEC，OD OC =23，于是可求得OF=2，DF=4．∴ 点D 的坐标为(2，4)设直线AD 的解析式为y=kx+b ． 把A(6，0)，D(2，4)代人得6024k b k b +=⎧⎨+=⎩解得16k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线AD 的解析式为y=-x+6 (3)存在．Q 1(-32，32) Q 2(32，-32) Q 3(3，-3) Q 4(6，6)二、函数与方程综合的压轴题1.（2004江苏宿迁）已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝5，试求m 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC的面积等于27，试求m 的值.[解]（1）设点Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) .则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m ， x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2又AB ＝∣x 1 － x 2∣＝121245x x x x -=2（+）∴m 2－4m ＋3=0.解得：m=1或m=3(舍去), ∴m 的值为1.（2）设M(a ，b)，则N(－a ，－b) .∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2.∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴2a m =±-.这时M 、N 到y 轴的距离均为2m -, 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m ）×2m -=27. ∴解得m=－7 .2.（2005福建三明）已知二次函数q px x y ++=2(q p ,为常数，△=042>-q p )的图象与x 轴相交于A ()0,1x ，B ()0,2x 两点，且A ，B 两点间的距离为d ，例如，通过研究其中一个函数652+-=x x y 及图象(如图)，可得出表中第2行的相交数据。