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探究二：如图①，横跨南渡江的琼州大桥的两边均 有五个红色的圆拱，其中最高的圆拱的跨度 CD 为 110 米，拱高 AB 为 22 米(A，B 分别是C︵D和弦 CD 的中点)， 如图②，那么这个圆拱所在圆的半径为多少米？
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解：由垂径定理推论，得 OA⊥CD，又 BC＝55，设 OC＝x，则 OB＝x－22，由勾股定理求得半径为 79.75 米.
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◎基础训练 1. (2018·威海)如图，⊙O 的半径为 5，AB 为弦， 点 C 为A︵B的中点，若∠ABC＝30°，则弦 AB 的长为 (D )
12
A.12
5 C.
2
3
B．5 D．5 3
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2. (2018·遂宁)如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于点 D，连接 BE，若 AB＝2 7，CD ＝1，则 BE 的长是( B )
3
2. 垂径定理推论：平分弦(不是直径)的 直径 垂 直于弦
1. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 E，
连接 AD，BD，下列结论中不一定正确的是( C )
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A．AE＝BE
B.A︵D＝B︵D
C．OE＝DE
D．AD＝BD
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解：作 AE⊥MN 于点 E，由已知求得 AE＝80＜100，
故会受影响． 以 A 为圆心，100 m 为半径作⊙A，
交 MN 于点 C，点 D，连 AC，则 AC＝100， 求得 CE＝60 m，CD＝120 m，
又 18 km/h＝5 m/s，120÷5＝24(s)．
25
A．5 C．7
B．6 D．8
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3. (2018·海南)如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(20，0)，点 B 的坐标是(16，0)，点 C，D 在
以 OA 为直径的半圆 M 上，且四边形 OCDB 是平行四边
形，则点 C 的坐标为 (2，6) ．
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【解析】连接 MC，过点 C 作 CE⊥OA 于点 E，过 点 M 作 MF⊥CD 于点 F，由题意，易得 CF＝21CD＝21OB ＝8，则 ME＝8，又 OM＝21OA＝10，∴OE＝2，在 Rt△CME 中，CM＝10，ME＝8，∴CE＝ CM2－ME2＝6，∴点 C 的坐标为(2，6)．
第三章 圆 *3.3 垂径定理
1
◎学习目标 1. 理解圆的轴对称性，了解拱高、弦心距等概念． 2. 掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和 证明问题．
2
◎新知梳理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径 平分 这条弦，并 且平分弦所对的 两条弧 ．该定理也可以理解为：若一 条直线具有两条性质：①过圆心，②垂直于一条弦，则 此直线具有另外三条性质：③ 平分 此弦；④平分此 弦所对的优弧；⑤平分此弦所对的 劣弧 ．
∵∠COB＝56°，∴∠OBA＝56°.
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◎拓展提升 6. (2018·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD
交 AB 于点 P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则 CD 的
长为( C )
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A. 15 C．2 15
B．2 5 D．8
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【解析】过点 O 作 OE⊥CD 于点 E，连接 OD，∵ AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝2，在 Rt △POE 中，∠EPO＝∠APC＝30°，∴OE＝1，在 Rt△DOE 中，DE＝ 42－1＝ 15，∴CD＝2DE＝2 15.
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解：过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，则 BE＝12AB， ∵OD＝12AB，∴BE＝OD，
∵点 B，C 在⊙O 上，∴OB＝OC，∵CD⊥OB，
∴∠ODC＝90°，∵OE⊥AB，∴∠OEB＝90°， 在 Rt△OBE 与 Rt△COD 中，BOBE＝ ＝OODC.， ∴Rt△OBE≌Rt△COD，∴∠OBA＝∠COB，
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4. 已知：如图，⊙O 的半径为 3，弦 AB 的长为 4， 求 sinA 的值．
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解：作 OE⊥AB 于 E， 得 AE＝2，求得 OE＝ 5，
sinA＝ 35.
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5. 如图，点 A，B，C 在⊙O 上，且∠COB＝56°， CD⊥OB，垂足为 D，当 OD＝12AB 时，求∠OBA 的度数．
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7. 如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点 A 处有一所中学，AP＝160 m．假设拖拉机
行驶时，周围 100 m 以内会受到噪声的影响，那么拖拉
机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声
影响？请说明理由；如果受影响，那么学校受影响的时 间为多少秒？(已知拖拉机的速度为 18 km/h)
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2. (2018·张家界)如图，AB 是⊙O 的直径，弦
CD⊥AB 于点 E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则 AE＝( A )
A．8 cm C．3 cm
B．5 cm D．2 cm
7
3. 如图，在⊙O 中，弦 AB∥CD，AB＜CD，直径
MN⊥AB，垂足为 E，交弦 CD 于点 F.
图中相等的线段有 AE＝BE，DF＝CF
．
图中相等的劣弧有 A︵M＝B︵M，D︵M＝C︵M，B︵N＝A︵N，
D︵N＝C︵N，B︵D＝A︵C，A︵MD＝B︵MC (写四对)．
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探究一：如图，在⊙O 中，直径 AB 垂直于弦 CD 于
点 M，AM＝18，BM＝8，求弦 CD 的长．
解：连 OC，AB＝26，OC＝13，OM＝5， 求得 CM＝12，CD＝24.