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第二章 随机变量及其分布
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第二章 随机变量及其分布
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方差和标准差的计算
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第二章 随机变量及其分布
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[思路点拨] (1)利用方差公式求解，首先求出均值 E(η)，然后利用D(η)定义求方差；(2)由于E(η)是一个常数，所 以D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)．
甲保护区：
ξ1
0
1
2
3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
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第二章 随机变量及其分布
乙保护区：
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ξ2
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平． [思路点拨] 从均值和方差角度去评定，并根据实际 情况去分析．
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第二章 随机变量及其分布
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第二章 随机变量及其分布
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2.3.2 离散型随机变量的方差
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第二章 随机变量及其分布
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第二章 随机变量及其分布
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1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差和标准差 的概念和意义．
环数较分散．
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第二章 随机变量及其分布
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求实际问题的期望和方差
设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行 检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次 品的个数，求ξ的分布列、期望值及方差．
[思路点拨] 要求ξ的分布列，必须先确定随机变量ξ 的可能取的所有值，进而求出ξ取每一个值时的概率，然后借 助均值和方差的定义求出均值和方差．
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第二章 随机变量及其分布
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第二章 随机变量及其分布
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3．已知随机变量ξ的分布列为 ξ0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.15 0.25 0.25 0.15 0.1
则D(ξ)＝________.
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第二章 随机变量及其分布
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对随机变量X的方差、标准差的理解 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义式 是相同的； (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值 的稳定性和波动、集中与离散程度； (3)D(X)越小，稳定性越高，波动越小； (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际 问题中应用更广泛．
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第二章 随机变量及其分布
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◎ 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下：
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第二章 随机变量及其分布
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离散型随机变量方差的性质
1．当a，b为常数时，随机变量Y＝aX＋b，则D(Y)＝ D(aX＋b)＝a2D(X)．
(1)当a＝0时，D(Y)＝D(b)＝0； (2)当a＝1时，D(Y)＝D(X＋b)＝D(X)； (3)当b＝0时，D(Y)＝D(aX)＝a2D(X)． 2．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
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第二章 随机变量及其分布
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方差的应用
甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且 野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度 发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
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第二章 随机变量及其分布
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[规律方法] 正确认识二项分布及在解题中的应用 (1)在解决有关均值和方差问题时，同学们要认真审题， 如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项 分布求期望和方差，以简化问题的解答过程； (2)对于二项分布公式E(X)＝np和D(X)＝np(1－p)要熟练 掌握． 特别提醒： 求随机变量的期望、方差时，首先要分析 随机变量是否符合特殊分布，符合的要用相应的公式求解．
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第二章 随机变量及其分布
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解析： E(ξ)＝0.1×0＋0.15×1＋0.25×2＋0.25×3＋ 0.15×4＋0.1×5＝2.5，
所以D(ξ)＝(0－2.5)2×0.1＋(1－2.5)2×0.15＋(2－ 2.5)2×0.25＋(3－2.5)2×0.25＋(4－2.5)2×0.15＋(5－2.5)2×0.1＝ 2.05.
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则(xi－E(x))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏
离程度，而D(X)＝____________________为这些偏离程度的加 权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称 D(X)为随机变量X的____方__差____．
标准差
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答案： 2.05
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4．编号为1,2,3的三位同学随意入座编号为1,2,3的三个 座位，每位同学一个座位，设与座位编号相同的学生的个数为 ξ，求D(ξ)．
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3．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，射手甲击中 环数8,9,10的概率分别为0.2,0.6,0.2；射手乙击中环数8,9,10的概 率分别为0.4,0.2,0.4.用击中环数的数学期望与方差比较两名射 手的射击水平．
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两点分布和二项分布的方差
1．两点分布的方差：若离散型随机变量X服从两点分布， 则D(X)＝______p_(1_－__p_)______．
2．二项分布的方差：若离散型随机变量X服从参数为n， p的二项分布，即___________X_～__B_(_n，，则p)D(X)＝ ____n_p_(_1_－__p_) _____．
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第二章 随机变量及其分布
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[规律方法] 关于均值与方差的说明 均值仅体现了随机变量取值的平均水平，但有时仅知道 均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了，还 需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算其方差( 或是标准差)．方差大说明随机变量取值分散性大；方差小说 明随机变量取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．
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第二章 随机变量及其分布
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[规律方法] 解答此类问题要注意以下几个问题： 1．准确表达出有关随机变量的分布列，完成此环节的 难点是弄清随机变量各取值的含义，用参数表示有关量． 2．熟练应用均值、方差的计算公式和性质：(1)应用公 式关键是先明确公式中有关量的含义，再从题目条件中寻找它 的取值； (2)对于两点分布，二项分布等特殊分布列要注意求均 值、方差特定结论的应用．
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解析： 设甲、乙两射手击中环数分别为ξ1，ξ2，E(ξ1) ＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，
D(ξ1)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4； 同理有E(ξ2)＝9，D(ξ2)＝0.8. 由上可知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)． 所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平 均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，而乙得
[提示3] 样本方差．
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离散型随机变量的方差与标准差的概念
1．方差的定义：设离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
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